Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

См. также: Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы

Определения и теоремы

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
, то .
Если , то .

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Эта теорема означает, что существуют такие точки и , принадлежащие отрезку : , значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку , то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .

Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b , непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a , b ], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ], то найдётся хотя бы одна точка x 1 Î [a , b ] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x 1) ≥ f(x) . Аналогично найдётся такая точка x 2 , в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x 1) ≤ f(x) .

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x 2 и x 2 ".

Замечание . Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a , b ). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a , b ], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка x = C , в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x) , соответствующие концам отрезка [a , b ] лежат по разные стороны от оси Ox , то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox . Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a , b ] и f(a) = A , f(b) = B . Тогда для любого числа C , заключённого между A и B , найдётся внутри этого отрезка такая точка C Î [a , b ], что f(c) = C .

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x) . Пусть f(a) = A , f(b) = B . Тогда любая прямая y = C , где C – любое число, заключённое между A и B , пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C , при котором f(c) = C .

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента x из этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x 0 и новое x .

Разность x– x 0 называется приращением аргумента x в точке x 0 и обозначается Δx . Таким образом, Δx = x – x 0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x 0 +Δx , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x 0 значение функции было f(x 0 ), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x 0 +Δx) .

Разность y – y 0 = f(x) – f(x 0 ) называется приращением функции y = f(x) в точке x 0 и обозначается символом Δy . Таким образом,

Обычно исходное значение аргумента x 0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y 0 = f(x 0 ) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δx также будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx →0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x 0 и обозначают f "(x 0). Итак,

Производной данной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx , когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках x может принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x . Эта функция обозначается f "(x )

Производная обозначается символами f "(x),y ", . Конкретное значение производной при x = a обозначается f "(a ) или y "| x=a .

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило :

Примеры.

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t , где s – путь, пройденный к моменту времени t , v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t , т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t 0 . К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0 .

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δt . Ему соответствует пройденный путь s=s(t 0 + Δt ). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t 0 + Δt) –s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt . Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt .

Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0 +Δt , когда Δt →0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M 0 M . Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т , то прямая М 0 Т называется касательной к кривой в данной точке М 0 .

Т.о., касательной к кривой в данной точке М 0 называется предельное положение секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точке М 0 .

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y 0 =f(x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0 ; y 0). Дадим аргументу x 0 приращение Δх . Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 +Δ y=f(x 0 –Δx) . Получаем точку М(x 0 +Δx ; y 0 +Δy). Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox . Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δx →0, то в силу непрерывности функции Δу →0, и поэтому точка М , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 . Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0 , а угол φ→α при Δx →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox . Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f "(x) = tg α .

Т.о., геометрически у "(x 0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при данном значении аргумента x , производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М 0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М (-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x 2)" = 2х . Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y "| x=-1 = – 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x 0 , если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а ; b ] или интервала (а ; b ), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а ; b ] или соответственно в интервале (а ; b ).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x 0 , то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство . Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx →0. Но тогда

Δy =f "(x 0 ) Δx +αΔx => Δy →0 при Δx →0, т.е f(x) – f(x 0) →0 при x →x 0 , а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x 0 . Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx →0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx →0–0 и Δx →0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к 1 и к 2 . Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx →0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].

Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:

1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);

2) f (x ) = f (a );

3) f (x ) = f (b ).

Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.

Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).

Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).

Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].

Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.

В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.

Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .

Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).

Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = }