Как решать разные виды уравнений. Реферат: Уравнения и способы их решения
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.
Линейные уравнения представляют в таком виде:
В общей форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0
В канонической форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:
ax + b =0.
Например:
2х + 7 = 0 . Где а=2, b=7;
0,1х - 2,3 = 0. Где а=0,1, b=-2,3;
12х + 1/2 = 0. Где а=12, b=1/2.
Число корней зависимо от a и b :
Когда a = b =0 , значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .
Когда a =0 , b ≠ 0 , значит, у уравнения нет корней, так как .
Когда a ≠ 0 , значит, у уравнения есть только один корень .
Линейное уравнение с двумя переменными.
Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x) , где A(x) и B(x) — выражения от x . При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения , а все такие значения переменной — корни уравнения.
Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:
В общей форме: ax + by + c = 0,
В канонической форме: ax + by = -c,
В форме линейной функции: y = kx + m , где .
Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y) , которая превращает его в тождество . Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m .
Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется
Что такое уравнение?
Тем, кто делает первые шаги в алгебре, конечно, требуется максимально упорядоченная подача материала. Поэтому в нашей статье о том, что такое уравнение, мы не только дадим определение, но и приведём различные классификации уравнений с примерами.
Что такое уравнение: общие понятия
Итак, уравнение — это вид равенства с неизвестным, обозначаемым латинской буквой. При этом числовое значение данной буквы, позволяющее получить верное равенство, называется корнем уравнения.Более подробно об этом вы можете прочитать в нашей статье , мы же продолжим разговор о самих уравнениях. Аргументами уравнения (или переменными) называются неизвестные, а решением уравнения называется нахождение всех его корней либо отсутствия корней.
Виды уравнений
Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные.
- Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия - 4 арифметических, а также возведение в степень и извлечение натурального корня.
- Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются неалгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.
Среди алгебраических уравнений выделяют также:
- целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;
- дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;
- иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.
Заметим также, что дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.
Трансцендентные уравнения подразделяются на:
- показательные — это такие уравнения, которые содержат переменную в показателе степени. Они решаются путём перехода к единому основанию или показателю степени, вынесением общего множителя за скобку, разложением на множители и некоторыми другими способами;
- логарифмические — уравнения с логарифмами, то есть такие уравнения, где неизвестные находятся внутри самих логарифмов. Решать такие уравнения весьма непросто (в отличие от, допустим, большинства алгебраических), поскольку для этого требуется солидная математическая подготовка. Самое важное здесь — перейти от уравнения с логарифмами к уравнению без них, то есть упростить уравнение (такой способ удаления логарифмов называется потенцированием). Разумеется, потенцировать логарифмическое уравнение можно только в том случае, если они имеют тождественные числовые основания и не имеют коэффициентов;
- тригонометрические — это уравнения с переменных под знаками тригонометрических функций. Их решение требует первоначального освоения тригонометрических функций;
- смешанные — это дифференцированные уравнения с частями, принадлежащими к различным типам (например, с параболической и эллиптической частями или эллиптической и гиперболической и т.д.).
Что касается классификации по числу неизвестных, то здесь всё просто: различают уравнения с одним, двумя, тремя и так далее неизвестными. Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями 1-й степени, квадратные — 2-й, а кубические, соответственно, 3-й. Ну а теперь приведём примеры уравнений той или иной группы.
Примеры различных типов уравнений
Примеры алгебраических уравнений:
- ax + b= 0
- ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
- ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
(a не равно 0)
Примеры трансцендентных уравнений:
- cos x = x lg x = x−5 2 x = lgx+x 5 +40
Примеры целых уравнений:
- (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4
Пример дробных уравнений:
- 15 x + — = 5x - 17 x
Пример иррациональных уравнений:
- √2kf(x)=g(x)
Примеры линейных уравнений:
- 2х+7=0 х - 3 = 2 - 4х 2х+3=5х+5 - 3х - 2
Примеры квадратных уравнений:
- x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0
Примеры кубических уравнений:
- x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0
Примеры показательных уравнений:
- 5 х+2 = 125 3 х ·2 х = 8 х+3 3 2х +4·3 х -5 = 0
Примеры логарифмических уравнений:
- log 2 x= 3 log 3 x= -1
Примеры тригонометрических уравнений:
- 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tg 3 x = ctg 4 x
Примеры смешанных уравнений:
- log х (log 9 (4⋅3 х −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13
Осталось добавить, что для решения уравнений различных типов применяются самые разные методы. Ну а чтобы решать практически любые уравнения, потребуются знания не только алгебры, но также и тригонометрии, причём нередко знания весьма глубокие.
Виды алгебраических уравнений и способы их решения
Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х – или на ах + b , является схема Горнера.
Рассмотрим схему Горнера.
Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х – через
Q (x ) = b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1 , а остаток через b n .
Так как Р(х) = Q (x )(х– ) + b n , то имеет место равенство
а 0 x n + а 1 x n -1 + … + а n = (b 0 x n -1 + b 1 x n -2 + … + b n -1)(х– ) + b n
Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а 0 = b 0 и при 1 k n имеют место соотношения а k = b k - b k -1 . Отсюда следует, что b 0 = а 0 и b k = а k + b k -1 , 1 k n .
Вычисление коэффициентов многочлена Q (x ) и остатка b n запишем в виде таблицы:
а 0
а 1
а 2
а n-1
а n
b 0 = а 0
b 1 = а 1 + b 0
b 2 = а 2 + b 1
b n-1 = а n-1 + b n-2
b n = а n + b n-1
Пример 1. Разделить многочлен 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1.
Решение. Используем схему Горнера.
При делении 2x 4 – 7x 3 – 3х 2 + 5x – 1 на х + 1 получим 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1
Ответ: 2x 3 – 9х 2 + 6x – 1
Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x 5 – 7x 4 + 5х 3 – 2х + 1
Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:
Ответ: Р(3) = 535
Упражнение
Используя схему Горнера, разделить многочлен
4x 3 – x 5 + 132 – 8х 2 на х + 2;
2) Разделить многочлен
2x 2 – 3x 3 – х + х 5 + 1 на х + 1;
3) Найти значение многочлена Р 5 (х) = 2х 5 – 4х 4 – х 2 + 1 при х = 7.
1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами
Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.
Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.
Доказательство: а 0 x n + а 1 x n -1 + … + а n = 0
Пусть х = р/q – рациональный корень, q , p – взаимнопростые.
Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим
а 0 р n + а 1 р n -1 q + … + а n -1 pq n -1 + a n q n = 0 (1)
Перепишем (1) двумя способами:
a n q n = р(– а 0 р n -1 – а 1 р n -2 q – … – а n -1 q n -1) (2)
а 0 р n = q (– а 1 р n -1 –… – а n -1 рq n -2 – а n q n -1) (3)
Из равенства (2) следует, что a n q n делится на р, и т.к. q n и р взаимно просты, то a n делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а 0 делится на q . Теорема доказана.
Пример 1. Решить уравнение 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 0.
Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p /q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.
Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел 1, 1/2, обозначим Р 3 (х) = 2x 3 – 7x 2 + 5х – 1, Р 3 (1) 0, Р 3 (–1) 0,
Р 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 – корень уравнения.
2x 3 – 7x 2 + 5х – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3х + 2х– 1 = 0.
Получим: x 2 (2х – 1) – 3x (2х – 1)+ (2х– 1) = 0; (2х– 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.
Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим
Ответ:
,
Упражнения
Решить уравнения:
6x 3 – 25x 2 + 3х + 4 = 0;
6x 4 – 7x 3 – 6х 2 + 2х + 1 = 0;
3x 4 – 8x 3 – 2х 2 + 7х – 1 = 0;
1.2. Возвратные уравнения и методы решения
Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида
аx n + bx n -1 + cx n -2 + … + cx 2 + bx + а = 0
Возвратное уравнение нечетной степени
аx 2 n +1 + bx 2 n + cx 2 n -1 + … + cx 2 + bx + а = 0
всегда имеет корень х = – 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и х 2 n + x 2 n -1 + … + x + = 0. Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.
Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени
аx 2 n + bx 2 n -1 + … + dx n +1 + ex n + dx n -1 + … + bx + а = 0
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на х n , получим
аx n + bx n -1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1- n + аx -n = 0
Группируем попарно члены левой части
а(x n + x - n ) + b (x n -1 + x -(n -1) + … + d(x + x -1 ) + e = 0
Делаем замену х + х -1 = у. После подстановки выражений х 2 + х -2 = у 2 – 2;
х 3 + х -3 = у 3 – 3у; х 4 + х -4 = у 4 – 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ау n + By n -1 +Cy n -2 + … + Ey + D = 0.
Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х -1 = у k , где к = 1, 2, … n . Таким образом, получим корни исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение х 7 + х 6 – 5х 5 – 13х 4 – 13х 3 – 5х 2 + 2х + 1 = 0.
Решение. х = – 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.
Наше уравнение примет вид:
(х + 1)(х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1) = 0
1) х + 1 = 0, х = -1;
2) х 6 + х 5 – 6х 4 – 7х 3 – 6х 2 + х + 1 = 0 | : x 3 0; х 3 + х 2 – 6х – 7 – 6/х + 1/х 2 + 1/х 3 =0.
Группируя, получим: .
Вводим замену:
;
;
.
Получим относительно у уравнение: у 3 – 3у + у 2 – 2 – 6у – 7 = 0;
у 3 + у 2 – 9у– 9 = 0; у 2 (у + 1) – 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у 2 – 9); у 1 = -1, у 2,3 = 3.
Решая уравнения
,
,
,
получим корни:
,
,
,
Ответ: х
1
= -1,
,
Упражнения
Решить уравнения.
2х 5 + 5х 4 – 13х 3 – 13х 2 + 5х + 2 = 0;
2х 4 + 3х 3 – 16х 2 + 3х + 2 = 0;
15х 5 + 34х 4 + 15х 3 – 15х 2 – 34х – 15 = 0.
1.3. Метод замены переменной при решении уравнений
Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.
Если дано уравнение
F (f (x )) = 0, (1)
то заменой неизвестной у = f (x ) оно сначала сводится к уравнению
F (у) = 0, (2)
а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у 1 , у 2 , …, y n , … сводится к решению совокупности уравнений f (x ) =у 1, f (x ) = у 2 ,…, f (x ) = у 2 , …
Основными способами реализации метода замены переменной являются:
использование основного свойства дроби;
выделение квадрата двучлена;
переход к системе уравнений;
раскрытие скобок парами;
раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
понижение степени уравнения;
двойная замена.
1.3.1. Понижение степени уравнения
Решить уравнение (х 2 + х + 2)(х 2 + х + 3) = 6 (3)
Решение. Обозначим х 2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у 1 = 2, у 2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х 2 + х + 2 = 2
х 2 + х + 2 = -3
Решая первое, получим х
1
= 0, х
2
= -1. Решая второе, получим
,
Ответ: х
1
= 0, х
2
= -1,
1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b )(x + c )(x + d ) = m , где а + b = c + d , или а + с = b + d , или а + d = b + c .
Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40
Решение. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х 2 - 5х - 14)(х 2 - 5х + 4) = 40
Введем замену: х 2 - 5х – 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у 2 + 18у = 40, у 2 + 18у – 40 = 0. у 1 = -20, у 2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:
Х 2 - 5х – 14 = - 20 х 1 = 2; х 2 = 3
х
2
- 5х – 14 = 2 х
3,4
=
Ответ: х
1
= 2; х
2
= 3 х
3,4
=
1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b )(x + c )(x + d ) = Ех 2 ,
где ab = cd , или ac =bd , или ad = bc . Раскрываем скобки парами и делим обе части на х 2 0.
Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х 2
Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х 2 - 9х + 8)(х 2 - 6х + 8) = 4х 2 .
Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х
2
0, получим:
, замена:
, исходное уравнение примет вид:
t
(t
+3) =4,
t
2
+ 3
t
=4,
t
2
+ 3
t
– 4=0,
t
1
=1,
t
2
= - 4.
Вернемся к исходной переменной:
х 2 - 10х + 8 = 0
х 2 - 5х + 8 = 0
Первое уравнение решаем, получим х
1,2
= 5
Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: х
1,2
= 5
1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах 2 + b 1 х + c )(a х 2 + b 2 x + c ) = A х 2
Уравнение (ах
2
+
b
1
х+
c
)(a
х
2
+
b
2
x
+
c
) =
A
х
2
, где с
0, А
2
, которое после замены неизвестной
перепишется в виде квадратного и легко решается.
Пример. (х 2 + х+ 2)(х 2 + 2x + 2) = 2х 2
Решение. Легко видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, разделив данное уравнение на х
2
, получим уравнение
замена
, получим уравнение (у+1)(у+2) = 2, решив его, имеем корни у
1
= 0; у
2
= - 3, следовательно исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
решая, получим х 1 = -1; х 2 = -2.
Ответ: х 1 = -1; х 2 = -2
1.3.5. Уравнение вида: a (cx 2 + p 1 x + q ) 2 + b (cx 2 + p 2 x + q ) 2 = Ax 2
Уравнение
a
(cx
2
+
p
1
x
+
q
)
2
+
b
(cx
2
+
p
2
x
+
q
)
2
=
Ax
2
, где
a
,
b
,
c
,
q
,
A
таковы, что
q
0,
A
0,
c
0,
a
0,
b
0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х
2
, получим равносильное ему уравнение
, которое после замены
перепишется в виде квадратного уравнения, которое легко решается.
+ 1)( x
2 – 14x
+ 15 = 0
x
2
– 7
x
+ 15 = 0
Ответ:
Министерство общего и профессионального образования РФ
Муниципальное образовательное учреждение
Гимназия № 12
сочинение
на тему: Уравнения и способы их решения
Выполнил: ученик 10 "А" класса
Крутько Евгений
Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна
Тюмень 2001
План................................................................................................................................... 1
Введение........................................................................................................................... 2
Основная часть................................................................................................................. 3
Заключение..................................................................................................................... 25
Приложение................................................................................................................... 26
Список использованной литературы.......................................................................... 29
План.
Введение.
Историческая справка.
Уравнения. Алгебраически уравнения.
а) Основные определения.
б) Линейное уравненение и способ его решения.
в) Квадратные уравнения и способы его решения.
г) Двучленные уравнения способ их решения.
д) Кубические уравнения и способы его решения.
е) Биквадратное уравнение и способ его решения.
ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.
ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.
з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его
и) Иррациональные уравнения и способы его решения.
к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.
абсолютной величины и способ его решения.
Трансцендентные уравнения.
а) Показательные уравнения и способ их решения.
б) Логарифмические уравнения и способ их решения.
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.
Математика... выявляет порядок,
симметрию и определенность,
а это – важнейшие виды прекрасного.
Аристотель.
Историческая справка
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
уравнения. Алгебраические уравнения
Основные определения
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв ). Для записи тождества наряду со знаком
также используется знак .Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:
, , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...).В общем виде уравнение может быть записано так:
( , , ..., ) .В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.
Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Если все решения уравнения
являются решениями уравненияВ некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ .
Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является .
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести .
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.