Метод Монжа использует метод прямоугольных проекций или метод ортогонального проецирования геометрического образа (точки, прямой, плоскости, поверхности) на две взаимно перпендикулярные и взаимно связанные плоскости проекции лучами перпендикулярными этим плоскостям проекций, в этом состоит сущность метода Монжа:

Рис. 18 Метод Монжа: H - горизонтальная плоскость проекции; V - фронтальная плоскость проекции; W - профильная плоскость проекции.

Линии пересечения плоскостей проекции называются осью проекции или осью координат:

А`- проекция точки А на плоскость H (горизонтальная проекция точки А);

А"- проекция точки А на плоскость V (фронтальная проекция точки А);

А"`- проекция точки А на плоскость W (профильная проекция точки А).

Методы проецирования с использованием одно-картинных чертежей позволяют решать прямую задачу (т.е. по данному оригиналу построить его проекцию). Однако, обратную задачу (т.е. по проекции воспроизвести оригинал) решить однозначно невозможно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. каждую точку Аб плоскости проекций б можно считать проекцией любой точки проецирующего луча SАб, проходящего через Аб.

Таким образом, рассмотренные одно-картинные чертежи не обладают свойством обратимости.

Для получения обратимых одно-картинных чертежей их дополняют необходимыми данными.

Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.

Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А1 задаётся высота точки, т.е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб.

Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.

Рис. 19

В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж, обобщив накопленные к этому времени теоретические знания и опыт, впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения с плоскостью двух взаимно связанных взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, получивший название Метод Монжа, которым выше было сказано, что проекция точки не определяет положения точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за «плоскость нулевого уровня», и числовая отметка считается положительной, если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной, если точка ниже этой плоскости.

На этом основан метод проекций с числовыми отметками ").

В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях проекций.

На рис. 20 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой к1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой я2,-- вертикально. Эту плоскость называют фронталыюй плоскостью проекций, пл. я, называют горизонтальной плоскостью проекций. Плоскости проекции Kj И Я2 образуют с истему Kj, я2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей Я! и я2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение л или обозначение в виде дроби я2/яj. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения Я! и я2.

На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе я15 я2. Проведя из А перпендикуляры к itj и я2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А", и фронтальную, обозначенную А".

Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к л, и я2, определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта плоскость в пересечении с я, и я2 образует две взаимно перпендикулярные прямые А"АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций. Следовательно, проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Метод проекций с числовыми отметками в программу излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по начертательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.

Если даны проекции А" и А" некоторой точки А (рис. 21), то, проведя перпендикуляры -- через А" к пл. TCj и через А" к пл. л2 -- получим в пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Повернув пл. Kj вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на рис. 22), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А" расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций -- на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей я, и л2 получается чертеж, известный под названием эпюр ") (эпюр Монжа). Это чертеж в системе 2 (или в системе двух прямоугольных проекций).

Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется работа воображения.

Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно плоскостей проекций Tij и п2 установлено, то отрезок А"АХ выражает расстояние точки А от плоскости проекций л2, а отрезок А"АХ -- расстояние точки А от плоскости проекций п^ Так же можно определить расстояние точки А от оси проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам А"АХ и А"АХ (рис. 23): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А"АХ, перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое расстояние.

Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции, получается возможность установить положение определяемой ими точки.

Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова «чертеж» оно будет сопровождаться соответствующим определением (перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).

Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо «эпюр» пишут и произносят «эпюра», что соответствует не произношению слова ёриге, а женскому роду этого слова во французском языке.

Гаспар Монж

После успешного окончания школы ее руководство рекомендовало Гаспара Монжа для дальнейшего обучения в коллеже Святой Троицы в Лионе. Он был принят туда и вскоре стал там (в 16 лет!) преподавателем физики, занимая это место до 1764 года. Для получения специального образования в 18 лет Монж поступил в Военноинженерную школу в Мезьере, но принят он был не в офицерский класс, так как не имел дворянского происхождения, а на отделение, готовившее мастеров и производителей работ. Там учащиеся овладевали основами алгебры, геометрии, черчения, а также изготавливали всевозможные модели зданий и фортификационных сооружений. В Мезьерской школе Монж быстро стал одним из первых учеников. Имея хорошую математическую подготовку, он легко и оригинально мог решать самые сложные задачи.

После окончания учебы Монж был оставлен в Мезьерской школе в качестве преподавателя: сначала ассистентом кафедры математики у профессора Шарля Боссю (1730–1814), а затем и ассистентом кафедры физики у профессора Жана Антуана Нолле (1700–1770). В 1770 году, после смерти Нолле и перевода Боссю на другую работу, Монж стал руководителем сразу обеих этих кафедр. Помимо физики и математики, он читал еще и курс по химии, а также теорию перспективы и теней. Именно в Мезьерский период своей жизни Монж начал развивать идеи начертательной геометрии и нашел для них многочисленные приложения, в частности, для расчетов рельефа крепостных сооружений.

Ученики школы того периода очень любили своего молодого профессора. Он не был красавцем, говорил скороговоркой и не всегда внятно, но зато был очень добр и никогда ни для кого не жалел своего личного времени. Часто на занятиях он подходил к какомулибо зазевавшемуся слушателю со словами: «Друг мой, я повторю с того момента, с которого ты перестал меня понимать».

Профессор Монж умел передавать другим свое увлечение наукой, среди его учеников не было бездельников и отстающих. О своей же карьере он совершенно не заботился.

В 1777 году он женился, а через три года стал преподавателем гидравлики в Луврской школе в Париже. В эти годы он активно занимался вопросами математического анализа, химии, метеорологии, практической механики. За достижения в этих областях Парижская академия наук в 1780 году избрала 34летнего Монжа своим действительным членом.

Участие в заседаниях Академии требовало от молодого ученого постоянного пребывания в Париже, поэтому ему было разрешено по шесть месяцев в году находиться там. Во время отсутствия Монжа лекции в Мезьерской школе читал его младший брат Луи Монж (1748–1827), тоже профессорматематик.

Когда началась Великая французская революция, Монж стал ее пылким сторонником. Эти годы для него были наполнены чрезвычайно активной общественной и практической деятельностью. Сначала он работал в комиссии по установлению новой системы мер и весов, затем стал одним из организаторов национальной обороны и французской военной промышленности. Случилось это при следующих обстоятельствах. 10 августа 1792 года после низложения короля Людовика XVI Монж был избран в состав временного правительства, где получил портфель морского министра. После создания Национального Конвента, окончательно упразднившего королевскую власть, в сентябре того же года он сохранил свой пост министра Республики, ответственного за морской флот. Объяснить подобное назначение далекого от проблем флота ученого можно так: после революции все специалистыаристократы в адмиралтействе разбежались, и нужен был просто преданный нации, авторитетный и честный человек.

Свою обожаемую математику Монж всегда стремился приложить к любой области, в какую бы ни забросила его судьба. Он был энциклопедистом, как и любой ученый того времени, и, став экзаменатором гардемаринов, он не делал будущим морским офицерам никакого снисхождения. Впрочем, флот в то время был не самым приоритетным направлением деятельности правительства. Гораздо больше Франция нуждалась в боеприпасах. При короле этим вопросом занимался гениальный Лавуазье, но его революционеры казнили, оголив тем самым наиважнейший фронт, а без пороха их ружья и пушки стали похожи на бесполезные в настоящем бою палки.

И вот за производство пороха взялся Монж. Вместе с КлодомЛуи Бертолле он придумал, как и где добывать селитру во Франции. Результат оказался поразительным: если до 1789 года Франция потребляла не более миллиона фунтов селитры в год, стараниями Монжа и его сотрудников за десять месяцев ее было добыто 12 миллионов фунтов!

Но получить составляющие части – это еще не решение проблемы. Пороховые мельницы, число которых было весьма ограниченным, не успевали все это переработать. Тогда Монж предложил положить в обыкновенные бочки медные шары. Эти «мельницы в миниатюре» можно было разместить в любом дворе, и Франция его стараниями превратилась в огромный пороховой завод. Конечно, без всеобщего народного воодушевления эта огромная работа не могла бы быть выполнена, но и без гениальной головы Монжа ничего бы не получилось.

Пушки в то время делали из чугуна и бронзы. Чугунные пушки отливать было проще, но они были гораздо тяжелее. Как правило, их использовали на флоте или в крепостях. Число чугуннопушечных заводов Монж увеличил с четырех до тридцати. Вместо 900 орудий в год отливалось 30 тысяч. Число меднопушечных заводов стараниями Монжа возросло с двух до пятнадцати. Они стали выпускать семь тысяч орудий. Для этого в качестве источника меди стали использовать церковные колокола. Правда, состав колокольной меди не подходил для производства пушек, но Монж привлек химиков и нашел новые способы отделять медь от олова. Ранее для производства были необходимы глиняные формы орудий. Монж предложил отливать пушки в песке. Первую пушку, полученную таким способом, испытали на Марсовом поле, и весь Париж рукоплескал успешным результатам. Днем Монж не вылезал из мастерских, по ночам писал наставление «О пушечном искусстве». Все, что не относилось конкретно к вопросам обороны и вооружению армии, казалось несущественным.

Монж стойко переносил голод и холод. Он вообще питался в основном хлебом, позволяя подшучивать над собой. Известна, например, такая шутка: «Монж начал роскошествовать; теперь он ест редиску!»

Однажды мадам Монж узнала, что на ее мужа и Бертолле написан донос. Она побежала к Бертолле, но великий химик лишь задумчиво пробормотал: «Очень возможно, что нас осудят и поведут на гильотину, но это случится не раньше чем через восемь дней».

Почему через восемь дней и что будет через восемь дней, мадам Монж не поняла, но было очевидно, что ученого в это время волновало чтото совсем другое. Сам же Монж в ответ на плач жены сказал: «Самое главное, что мои литейные чудесно работают».

В 1794 году вместе с Бертолле Монж стал основателем и первым профессором Политехнической школы – одного из лучших высших учебных заведений Франции (здесь он читал лекции более десяти лет). Этот вклад Монжа в науку трудно переоценить: в результате его плодотворной организаторской и преподавательской деятельности Политехническая школа быстро стала центром общенаучной подготовки высококвалифицированных специалистов, все крупные инженеры и математики Франции XIX века или окончили эту школу, или были ее преподавателями.

Вернувшись к научной деятельности, Монж посвятил себя начертательной геометрии. Так сейчас называется инженерная дисциплина, состоящая из набора алгоритмов для исследования свойств пространственных геометрических объектов и основанная на представлении этих объектов с помощью двух независимых проекций. Проще говоря, это наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования на плоскости.

Однако основные сочинения Монжа по этому разделу были опубликованы лишь в 1799 году, так как долгие годы правительство Франции сохраняло эту дисциплину в секрете, квалифицируя ее как военную тайну. При этом известно, что свой значительный труд «Приложение анализа к геометрии» Монж создал в 1795 году. Этот труд представлял собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делался на дифференциальные уравнения.

В стенах Политехнической школы Монжу удалось добиться, чтобы начертательная геометрия и геометрия вообще стали центральными, определяющими предметами учебного курса. Он умел удивительно ясно и отчетливо излагать самые сложные вопросы.

В годы правления Директории Монж сблизился с Наполеоном и именно благодаря ему достиг больших чинов и славы. Наполеон, как известно, никогда не выдвигал на высокие посты бездельников. А для Монжа он уже тогда был образцом государственного деятеля и полководца. Особо сблизились Наполеон и Монж в 1796 году в Италии, куда последний был направлен Директорией с поручением отобрать для музеев и хранилищ Парижа наиболее выдающиеся произведения науки и искусства.

Когда в 1797 году Наполеон подписал мир с австрийцами, Монж был послан из Милана в Париж для передачи этого документа Директории с целью его ратификации. При этом Наполеон писал о Монже так:

«Гражданин Монж знаменит своими знаниями и своим патриотизмом. Своим поведением в Италии он добился того, что французов зауважали. Он заслужил мою дружбу».

В 1797 году Монж содействовал вступлению Наполеона в Институт Франции (Национальный институт наук и искусств), созданный Конвентом вместо упраздненной в 1793 году «буржуазной» Академии наук.

Когда в октябре 1797 года Монж вернулся из Италии в Париж, он уже был в курсе желания Наполеона «приобщиться к науке» и тут же принялся «готовить общественное мнение». Помогал ему в этом другой преданный Наполеону академик – КлодЛуи Бертолле. Удобный случай подвернулся очень кстати: в рядах академиков образовалось вакантное место. Но на него претендовало еще два человека, причем гораздо более известных в науке, чем генерал Бонапарт. Первым был Жак Диллон (1760–1807) – инженер, построивший первый во Франции железный мост, вторым – 84летний инженер Марк Рене Монталамбер (1713–1799), автор одиннадцатитомного сочинения по фортификации.

Тайное голосование имело место 25 декабря 1797 года: за Наполеона было подано 305 голосов, за Диллона – 166 голосов, за Монталамбера – 123 голоса. Как видим, преданные Монж и Бертолле не подвели: выбрали Наполеона, не имевшего научных трудов и иных заслуг, кроме побед на полях сражений. В газетах после этого было написано, что в академики был избран генерал Бонапарт, «удивительный человек, философ, вставший во главе армии».

Когда Наполеон стал планировать свою Египетскую экспедицию, он, ни минуты не сомневаясь, пригласил Монжа и Бертолле в свою «команду». Те с радостью согласились.

Для участия в экспедиции было привлечено около 150 ученых и специалистов, представлявших более пятнадцати различных профессий.

Историк Жан Тюлар приводит следующие данные:

«В путешествии приняли участие отобранные Монжем и Бертолле 21 математик, 3 астронома, 17 инженеровстроителей, 13 натуралистов и горных инженеров, столько же географов, 3 химика, специалисты по пороху и селитре, 4 архитектора, 8 рисовальщиков, 10 механиков, 1 скульптор, 15 переводчиков, 10 литераторов, 22 наборщика».

Список имен ученых, поехавших с Наполеоном в Египет, впечатляет. Во главе его стояли Монж и Бертолле. Под их началом находились математики Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) и Луи Костаз (1767–1842), химики Ипполит Колле Декотиль (1773–1815) и Жак Пьер Шампи (1744–1816), натуралист Этьен Жоффруа Сент Илер (1772–1844), астрономы Николя Антуан Нуэ (1740–1811) и Пьер Жозеф де Бошан (1752–1801), геолог Деода де Доломьё (1750–1801), художники Доминик Виван Денон (1747–1825), Анри Жозеф Редуте (1766–1852) и Андре Дютертр (1753–1842).

А многие светила французской науки, кстати сказать, отказались. В число «отказников» вошли, например, инженерматематик Гаспар де Прони (1755–1839), химик Антуан Франсуа Фуркруа (1755–1809), естествоиспытатели Жорж Леопольд Кювье (1769–1832) и Фредерик Кювье (1773–1838).

Разумеется, у каждого на то были свои резоны. «Мой расчет, – объяснял свой отказ ЖоржЛеопольд Кювье, – таков: я сейчас нахожусь в центре наук, среди самых замечательных коллекций и уверен, что здесь, в Париже, сделаю куда более важные открытия, чем участвуя даже в самом плодотворном путешествии».

Уже в Каире Монж стал одним из основателей Института Египта.

Институт Египта – это было очень важное научноисследовательское заведение, состоявшее из четырех отделений: математики, физики, политической экономии, литературы и искусств. Вицепрезидентом Института стал сам Наполеон, а президентом – Монж. Открытие этой «академии» было весьма торжественным, и при этом Наполеон заявил, что «торжество над невежеством есть величайшее из торжеств, а успехи его оружия – суть успехи просвещения».

В Египте Монж фактически стал правой рукой Наполеона. Много времени они проводили в научных дискуссиях, вместе ездили в Суэц, чтобы увидеть следы древнего канала, некогда соединявшего Нил с Красным морем.

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Инженерная графика» 1 семестр

для студентов заочной формы обучения

полная и сокращенная программы

Волгодонск 2013

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ... 3

2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.. 7

3. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.. 16

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА.. 29

5. ПОВЕРХНОСТИ.. 33

6. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 50

1. Методы ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

Введение. Цель и задачи курса

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Методы прямоугольного проецирования на две и три

Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Проекции точки, комплексный чертеж.

Метод Монжа, комплексный чертеж.

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Монжа, изданном в 1799 г. под названием «Géometrie déscriptive».

Гаспар Монж (1746-1818) вошел в историю как крупный французский геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и государственный деятель в период революции 1789- 1794 гг. и правления Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже, участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Монжем метод - метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций) - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей.

Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный , образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих «прямой» и «угол». В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях.

В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции. В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз оговариваться.

Начертательная геометрия (н.г.) стала предметом преподавания в нашей стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее практическим значением.

В Институте корпуса инженеров путей сообщения 1) протекала преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова Александровича Севастьянова (1796- 1849), с именем которого связано появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с французского языка, а затем первого оригинального труда под названием «Основания начертательной геометрии» (1821 г.), в основном посвященного изложению метода ортогональных проекций.

1) Теперь Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта им. академика В. Н. Образцова.

Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и военных учебных заведений.

Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай Иванович Макаров (1824- 1904), преподававший этот предмет в Петербургском технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853-1904), который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н. г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные примеры применения н. г. к решению инженерных задач.

Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период наибольшее внимание было уделено организации преподавания, созданию трудов, предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г. необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться к исследовательской работе.

Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова (1853 - 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и Николая Алексеевича Рынина (1877- 1942), которые уже в последние годы перед Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых Н.А.Глаголева (1888- 1945), А. И. Добрякова (1895-1947), Д. Д. Мордухай - Болтовского (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова (1885- 1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и многих других.

Вопросы к главе I

1. Как строится центральная проекция точки?
2. В каком случае центральная проекция прямой линии представляет собой точку?
3. В чем заключается способ проецирования, называемый параллельным?
4. Как строится параллельная проекция прямой линии?
5. Может ли параллельная проекция прямой линии представлять собой точку?
6. Если точка принадлежит данной прямой, то как взаимно располагаются их проекции?
7. В каком случае в параллельной проекции отрезок прямой линии проецируется в натуральную свою величину?
8. Что такое «метод Монжа»?
9. Как расшифровывается слово «ортогональный»?

Биография

От ученика до академика

Гаспар Монж родился 10 мая 1746 г. в небольшом городке Боне на востоке Франции (в пределах современного департамента Кот л’Ор) в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии , младший - Жан также профессором математики, гидрографии и навигации . Гаспар получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев . Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона , также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики .

Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и черчения линий были изобретены самим составителем. Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров , но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

Гаспар Монж 1797-1799 (экспозиция в Политехнической школе)

В Мезьерской школе Монж преподавал 20 лет. Там обучали геометрии , физике, фортификации, строительному делу с упором на практические занятия. Эта школа стала прообразом знаменитой в будущем Политехнической школы . Кроме основ начертательной геометрии, Монж разрабатывал и другие математические методы, в том числ,е теорию развёрток, вариационное исчисление и другие. Несколько докладов, с большим успехом сделанных им на заседаниях Парижской академии наук , и рекомендации академиков Даламбера , Кондорсе и Боссю обеспечили Монжу в 1772 году избрание в число двадцати «associés» членов Академии («присоединённых», то есть членов-корреспондентов Академии), а в 1780 году он уже избран академиком. Монж переезжает в Париж, сохраняя за собой должность в Мезьерской школе. Кроме этого, он преподаёт гидродинамику и гидрографию в Парижской Морской школе, а впоследствии занимает должность экзаменатора морских школ. Однако, работа и проживание по полгода поочерёдно в Париже и Мезьере со временем стало для него весьма утомительным и не устраивало руководство Мезьерской школы. В 1783 году Монж прекращает преподавание в школе и в 1784 году окончательно переселяется в Париж.

Избранный в академики, Монж, кроме исследований по математическому анализу , представленных в ряде мемуаров в изданиях Академии, занимался вместе с Бертолле и Вандермондом изучением различных состояний железа, производил опыты над капиллярностью , делал наблюдения над оптическими явлениями, работал над построением теории главных метеорологических явлений, независимо от Лавуазье и Кавендиша обнаружил, что вода представляет соединение водорода и кислорода, в 1781 году издал «Мемуар о выемках и насыпях» , в 1786-1788 гг. подготовил учебник по практической механике и теории машин «Трактат по статике для морских колледжей» . Этот курс переиздавался восемь раз, последний - в 1846 году, и неоднократно переводился на другие языки, в том числе на русский .

В годы революции

Порученный Монжу флот находился в тяжёлом состоянии: не хватало офицеров и матросов, боеприпасов и продовольствия. Франция потерпела уже несколько поражений на море, а в скором времени ей предстояло вступить в войну с Англией. Несмотря на скудность государственной казны, Монжу удалось отчасти пополнить опустевшие арсеналы и приступить к возведению на берегах необходимых укреплений. Во время полугодового исполнения обязанностей президента Совета ему пришлось принять два важнейших политических решения - он поставил свою подпись под приговором о казни Людовика XVI и объявлением войны с Англией. Тем не менее, у него не было необходимого административного и военного опыта, он тяготился министерской работой и уже в апреле 1793 года ушёл в отставку, продолжая работать во имя Революции.

В феврале 1798 года Монжа снова посылают в Италию в составе комиссии для выяснения событий, происходящих в Риме. 20 марта там была провозглашена республики, свергнута папская власть . Монж, однако, пробыл в Риме совсем недолго - вместе с Бертолле, Фурье , Малюсом и другими академиками он участвует в египетском походе Бонапарта, который очень рассчитывал на помощь учёных в постройке дорог, каналов, плотин, составлении карт, организации производства пороха, ружей и пушек, а также в создании на завоёванных территориях новых научных учреждений по типу французских. 29 августа 1798 года в Каире членами этой экспедиции и некоторыми военными, к числу которых принадлежал и сам Бонапарт, был учреждён Египетский институт наук и искусств, устроенный по образцу Французского и избравший своим президентом на первый триместр Монжа, вице-президентом Бонапарта, непременным секретарём Фурье. Монж продолжал научную работу, печатался в издаваемом Институтом научном и литературном сборнике «Египетские декады» («Décade Égyptienne»). В нём в первый раз был напечатан его мемуар с простым объяснением явления миража, который пугал солдат в пустыне . Временами Монжу приходилось вспоминать своё недолгое военное прошлое - он руководил в октябре 1798 года обороной Института против восставшего каирского населения, в 1799 году участвовал в неудачном походе Бонапарта в Сирию. Получив сведения о сложной обстановке во Франции, 18 августа 1799 года Бонапарт в сопровождении Монжа и Бертолле тайно выехал из Каира и после трудного и опасного двухмесячного пути они добрались до Парижа.

Последний взлёт и падение

Сосредоточивший в своих руках всю власть Бонапарт назначил Монжа пожизненным сенатором, в Политехнической школе он читает курсы приложения алгебры и анализа к геометрии , составляет устав и план работы школы. В августе 1803 года Монж назначен вице-президентом Сената, а в сентябре - сенатором Льежа с поручением организовать там производство пушек. Преданность новой власти и заслуги перед Империей были вознаграждены - он получил высшую степень ордена Почетного легиона , в 1806 году назначен президентом Сената на очередной годичный срок, ещё через год получил титул графа Пелузского и 100 000 франков для покупки имения. Однако вскоре его начало подводить здоровье, у него на время отнялась рука. Монж прекращает преподавание в Политехнической школе, но продолжает научную работу и консультирует предлагаемые технические проекты. Так, в 1805 году император поручает ему изучить возможность проведения канала от реки Урк для снабжения Парижа водой. В 1808 году его привлекли к оценке возможности десанта в Англию на 100 больших аэростатах, каждый из которых должен был поднимать 1000 солдат и снаряжение для них.

События 1812-1814 гг. закончились поражением Франции и ссылкой Бонапарта. Монж оставался приверженцем Империи и в период всех Ста дней по-прежнему был на стороне Бонапарта. После восстановления власти Бурбонов Монж был лишён званий, наград и пенсии, исключён (правда, всего лишь на год) из Политехнической школы. Распоряжением правительства в 1816 году он и Карно были исключены из преобразованного на новый лад Института и замещены Коши и Брегетом. Как один из «цареубийц», Монж мог ждать и более серьёзных репрессий. От всех этих ударов судьбы, довершённых ссылкой его зятя Эшассерио, как бывшего члена Конвента, Монж заболел и вскоре скончался. Его похоронили на кладбище Пер-Лашез . Жена Монжа пережила его на 24 года.

Научная деятельность

Создание «Начертательной геометрии », трактат которой вышел в свет только в 1799 году под заглавием «Géométrie descriptive », послужило началом и основой работ, позволивших новой Европе овладеть геометрическими знаниями Древней Греции; работы же по теории поверхностей , помимо своего непосредственного значения, привели к выяснению важного принципа непрерывности и к раскрытию смысла той обширной неопределенности, которая возникает при интегрировании уравнений с частными производными , произвольными постоянными и тем более с появлением произвольных функций.

Принцип непрерывности в том виде, в каком он сформулирован Монжем, может быть изложен следующим образом. Всякое свойство фигуры, выражающее отношения положения и оправдывающееся в бесчисленном множестве непрерывно связанных между собой случаев, может быть распространено на все фигуры одного и того же рода, хотя бы оно допускало доказательство только при предположении, что построения, осуществимые не иначе как в известных пределах, могут быть произведены на самом деле. Такое свойство имеет место даже в тех случаях, когда вследствие полного исчезновения некоторых необходимых для доказательства промежуточных величин предполагаемые построения не могут быть произведены в действительности.

Из других, менее значительных вкладов Монжа в науку следует назвать теорию полярных плоскостей применительно к поверхностям второго порядка; открытие круговых сечений гиперболоидов и гиперболического параболоида ; открытие двоякого способа образования поверхностей этих же тел с помощью прямой линии; создание первого представления о линиях кривизны поверхностей; установление начал теории взаимных поляр, разработанной впоследствии Понселе , доказательство теоремы о том, что геометрическое место вершины трёхгранного угла с прямыми плоскими углами, описанного около поверхности второго порядка, есть шар, и, наконец, теорию построения ортогональных проекций трехмёрных объектов на плоскости, получившую название эпюр Монжа (Épure - от фр. чертёж, проект ).

Многочисленные мемуары Монжа издавались в трудах парижской и туринской академий, выходили в «Journaux de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecole Normale », в «Dictionnaire de Physique », «Методической энциклопедии » Дидро и д’Аламбера , в «Annales de Chimie » и в «Décade Egyptienne », издавались отдельно: «Dictionnaire de Physique » ( -), составленный при сотрудничестве Кассини, «Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication de l’acier » (), составленный вместе с Бертолле, и др. В содержатся библиография трудов Монжа (72 наим.) и перечень публикаций о его жизни и деятельности (73 наим.).

Имя Гаспара Монжа внесено в список 72 величайших учёных Франции , помещённый на первом этаже Эйфелевой башни .

Примечания

Эпонимы

Библиография

В переводе:

• Монж Г. Начальные основания статики или равновесия твёрдых тел для водоходных училищ. - СПб., 1803. - 151 с.
• Монж Г. Искусство лить пушки. - СПб., 1804.
• Монж Г. Начальные основания статики. - СПб., 1825. - 208 с.
• Монж Гаспар. Приложение анализа к геометрии / Под ред. М. Я. Выгодского . - М. - Л.: Объединённое научно-техническое издательство (ОНТИ) НКТП СССР , 1936. - 700 с. - (Классики естествознания). - 7 000 экз. (в пер.)
• Монж Гаспар. Начертательная геометрия / Под ред. проф. Д. И. Каргина. - М.: Изд. АН СССР, 1947. - 292 с.

Литература

• Launay Louis de. Monge fondateur de l ́École polytechnique. - Paris, 1933. - 380 р.

• Араго Ф. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров. - СПб., 1859. - Т. 1. - С. 499-589.
• Старосельская-Никитина О. Очерки по истории науки и техники периода Французской буржуазной революции 1789-1794. - М.-Л., 1946. - 274 с.
• Гаспар Монж. Сборник статей к 200-летию со дня рождения / Отв. ред. В. И. Смирнов. - Л. : Изд. АН СССР, 1947. - 85 с. - 5 000 экз.
• Каргин Д. И. Гаспар Монж и его «Начертательная геометрия» / В кн.: Гаспар Монж. Начертательная геометрия. - М.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 245-257
• Каргин Д. И. Гаспар Монж - творец начертательной геометрии. !746-1818. К 200-летию со дня рождения // Природа, - 1947. - № 2. - С. 65-73
• Вавилов С. И. Наука и техника в период французской революции / Собрание сочинений. - М.: АН СССР, 1956. - Т. 3. С. 176-190. - 3 000 экз.
• Боголюбов А. Н. Гаспар Монж, 1746-1818 / Под ред. акад. И. И. Артоболевского . - М .: Наука , 1978. - 184 с. - (Научно-биографическая серия). - 30 000 экз.
• Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза . - М .: Знание , 1979. - 224, с. - (Творцы науки и техники). - 100 000 экз. (в пер.)
• Демьянов В. П. Геометрия и Марсельеза: О французском математике и революционере Г. Монже / Отв. ред. В. И. Смирнов. - М .: Знание , 1986. - 256 с. - (Творцы науки и техники). - 100 000 экз. (в пер.)