(X, £) (или (X, <), если порядок строгий).

Определение 2: Множество, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным.

Пример: A - множество. (P (A),Í ), легко проверить, что отношение Í является отношением порядка на P (A).

Определение 3: Отношение порядка R на А называется полным (линейным) порядком , если " x, yÎA (xR y Ú yR x). Множество (A, R) называется линейно упорядоченным.

Примеры :

1. отношение £ на R является отношением полного порядка. Таким образом (R, £) - линейно упорядочено.

2. а вот (P (A),Í ) не является линейно упорядоченным

3. x£y Û y x на множестве N не является полным порядком

Определение 4: пусть (A, £) – частично упорядоченное множество. Элемент аÎА называетсянаименьшим /наибольшим/ в А, если " xÎA (a£ x) /x £ a /. Элемент bÎА называется минимальным /максимальным/ если " xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.

Задача: Доказать, что для линейно упорядоченного множества понятия наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элементов совпадают. Привести пример частично упорядоченного множества, где они не совпадают.

Композиция отношений

Пусть заданы множества A, B и C и отношения S между A и B (то есть SÌA´B) и R между B и C (RÌB´C). Определим новое отношение между A и C следующим образом:

Определение 1: Множество всех пар (x, y), таких, что существует zÎB такое, что (x, z)Î S и (z, y)Î R называется композицией отношений S и R . Обозначается: R o S . Таким образом, R o S Ì A ´ C .

R oS = {(x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)} или x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).

Пример 1 : Пусть A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={3, 6, 9, 12}, s ={(1,2), (2,4), (3,6)}, r={(1,3), (2,6), (3,9), (4,12)}. Тогда r o s={(1,6), (2,12)}.

Проиллюстрируем ситуацию на картинке:

Пример 2 : Пусть s и r - отношения на N такие, что

S = {(x,x+1)ïxÎN } и r = {(x 2 ,x)ïxÎN }. Тогда D r = {x 2 ïxÎN }={1,4,9,16,25,...}, а D s = N.

D r o s ={xïxÎN Ù x+1=y 2 }={3,8,15,24,...}.

В случае, когда отношение задано на множестве, оно может быть скомбинировано с самим собой:

sos = s 2 = {(x,x+2)½xÎN } и ror = r 2 = {(x 4 ,x)½xÎN }.

Используя это обозначение, можно определить энную степень отношения:

, где nÎN , n>1.

Например, для отношений из примера 2 имеем:

,

Хотелось бы дополнить аналогию с умножением. Для этого введем следующее естественное определение:

Определение 2: Бинарные отношения называются равными , если они равны как подмножества, то есть R=S, если"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).

Понятно, что отношения должны быть определены на одних и тех же множествах.

Теорема (свойства композиции отношений): Для любых бинарных отношений R, S, T имеют место равенства:

1. (RoS)oT = Ro(SoT)

2. (RoS) -1 = S -1 o R -1

Доказательство:

1) Для любых x и y имеем:

x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))ÙtRy) º $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.

2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z(ySzÙzRx) º $z(xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 oR -1 y.

Что и требовалось доказать.

Замечание: если R - отношение на множестве A, то ясно, что I A oR=RoI A =R. То есть I A ведет себя как единица при умножении чисел. Однако полной аналогии провести нельзя. Поскольку, например, коммутативность, в общем случае места не имеет, так как RoS может быть определено, а SoR нет. Также как и не всегда имеет смысл равенство R -1 oR=RoR -1 = I A .

Замыкание отношений

Понятие замыкания является фундаментальным математическим понятием и используется в большинстве разделов математики. Проиллюстрируем это понятие на общем примере: возьмем объект x 0 и процесс P, который, будучи примененный последовательно, порождает некоторое множество и, значит, определяет последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... так, что x 1 ÎP(x 0), x 2 ÎP(x 1),..., x n ÎP(x n -1),...

Определение 1: множество, содержащее все элементы всех последовательностей, которые могут быть получены при помощи процесса P и начинающиеся с x 0 , называется замыканием процесса P относительно x 0 .

Ясно, что результат будет заключаться в нахождении Р n (x 0) при некотором n. Это n мы заранее не знаем, оно зависит от самого процесса. Более того, если мы возьмем элемент y из этого замыкания и будем применять к нему процесс р, то не получим ничего нового. То есть множество таким путем расширено быть не может - оно замкнуто!

Пример : Возьмем квадрат S, обозначенный ABCD и рассмотрим процесс r, заключающийся в повороте квадрата по часовой стрелке на 90°:

Пусть отношение A задано на некотором множестве. Тогда:

Определение 2: Транзитивным замыканием отношения A на данном множестве называется отношение A + :

Таким образом, из не транзитивного отношения A на некотором множестве можно построить транзитивное A + .

Примеры:

1. r - отношение на N : r={(x, y)| y=x+1}, тогда r + ={(x, y)| x

2. s на Q : s={(x, y)| x

3. t наQ : t={(x, y)| x×y=1}, тогда r + ={(x, x)| x¹0}

4. Пусть L - множество станций лондонского метро; L={a, b, c} последовательные станции. N={(x, y)| y следует за x}.Значит (a, b), (b, c) ÎN; кроме того (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) Î N 2 . Значит, N + =L´L

Вообще говоря, транзитивное замыкание не является рефлексивным (пример 2).

Пусть A - отношение на X. Положим A 0 =I X .

Определение 3: Рефлексивным замыканием А* отношения A называют отношение . То есть .

Примеры:

1. r*={(x, y)| x£y}

Отношение эквивалентности – это отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Обозначается знаком ~, записьа ~ в означает, что а эквивалентно в .

В соответствии с определением для отношения эквивалентности выполняются свойства:

Примеры отношений эквивалентности – равенство, подобие треугольников .

Используя отношение эквивалентности можно проводить разбиение множества на классы эквивалентности.

Класс эквивалентности , порожденный элементом – множество всех элементов из , вступающих с в отношение эквивалентности. Класс эквивалентности определяется так:

, для
подбираются элементы
, находящиеся в соответствии с элементомх .

Отношение эквивалентности имеет большое практическое применение, позволяющее разбивать множества на классы эквивалентности. Класс эквивалентности можно получить, если для выбранного элемента х из множества Х можно подобрать элементы
, находящиеся сх в одном классе эквивалентности

Фактор-множества множества по отношению эквивалентности φ – множество всех различных классов эквивалентности, обозначаемое А / φ .

Индекс разбиения , порожденный отношением φ – это мощность фактор-множества А / φ .

Пример 2 .11.

а) Отношение равенства
на любом множестве является отношением эквивалентности.

Равенство – это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удаление любой пары из
(то есть любой единицы на диагонали матрицы
) оно перестает быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения вида
или
, состоящие из формул, соединенных знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность, хотя и обозначается знаком =, отличается от отношения равенства
, так как оно может выполняться для различных формул. Отношение
для формул – это совпадение формул по написанию. Оно называетсяграфическим равенством .

в) Рассмотрим множество треугольников на плоскости, считая, что треугольник задан, если заданы координаты его вершин. Два треугольника называются конгруэнтными (равными ) , если они при наложении совпадают, то есть могут быть переведены друг в друга путем некоторого перемещения . Конгруэнтность является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение «иметь один и тот же остаток от деления на 9» является эквивалентностью на
. Это отношение выполняетсядля пар (12, 21), (17, 36) и не выполняется для пар (11, 13), (19, 29).

Пусть на множествезадано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент
и образуем класс (подмножество), состоящий из; затем выберем элемент
и образуем класс, состоящий изи всех элементов, эквивалентных, и т.д. Получится система классов
(возможно, бесконечная) такая, что любой элемент из входит хотя бы в один класс, то есть
. Эта система классов обладает следующими свойствами:

она образует разбиение , то есть классы попарно не пересекаются ;

любые два элемента из одного класса эквивалентны ;

любые два элемента из разных классов неэквивалентны .

Все эти свойства вытекают из рефлексивности, симметричности и транзитивности . Действительно, если бы классы, например и, пересекались, то они имели бы общий элемент, эквивалентныйи, но тогда из-за транзитивности было бы
, что противоречит построению. Аналогично доказываются другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов, называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно, отношение «входить в один и тот же класс данного разбиения ».

Пример. 2.12.

а) Все классы эквивалентности по отношению равенства
состоят из одного элемента.

б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В этом примере счётны само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.

в) Разбиение
по отношению «иметь общий остаток от деления на 7» имеет конечный индекс 7 и состоит из 7 счетных классов: 0, 7, 14, …; 2, 9, 16, …; …; 6, 13, 20, …

Арифметику остатков лучше всего вводить с помощью отношения эквивалентности. Поскольку такие отношения будут играть важную роль как в этой главе, так и далее, стоит подробно разобрать это базисное понятие.

Пусть X - конечное или бесконечное множество. Отношением на X называется правило, по которому «сравниваются» его элементы. Это неформальное определение, но его вполне достаточно для наших целей. Заметим, что для определения отношения мы должны четко задать само множество; другими словами, нам должно быть ясно, какие элементы нужно сравнивать.

Рассмотрим несколько примеров. На множестве целых чисел есть много простых отношений, вроде «равно», «не равно», «меньше, чем», «меньше или равно». На множестве цветных мячей у нас есть отношение «тот же цвет». Последний пример, ввиду своей конкретности, хорош для запоминания в качестве модельного случая. Кстати, мы предполагаем, что каждый мяч из множества окрашен только в один цвет, пестрые мячи мы не рассматриваем.

Отношение эквивалентности - это отношение весьма специфичного вида. Возвращаясь к общим определениям, предположим, что X - множество, в котором было определено отношение. Удобно зафиксировать какой-нибудь символ для обозначения эквивалентности, обычно употребляют значок «~». С этого момента «~» будет отношением эквивалентности,

если для всех выполнены следующие свойства:

Первое свойство называется рефлексивностью. Оно говорит, что когда мы имеем отношение эквивалентности, любой элемент эквивалентен сам себе. Это свойство верно для равенства целых чисел: любое целое число равно самому себе. Но оно не выполнено для отношения Поэтому на множестве не является отношением эквивалентности.

Второе свойство называется симметричностью. Отношение на множестве целых чисел не симметрично. Действительно, в то время как неравенство ложно. С другой стороны, отношение на рефлексивно, но не симметрично.

Третье - свойство транзитивности. На множестве целых чисел отношения «равно», «меньше, чем», «меньше или равно», - транзитивны. А вот «не равно» этим свойством не обладает. Действительно, и но из этих неравенств не следует Добавим, что симметрично, но не рефлексивно.

Мы предусмотрительно привели примеры отношений, которые не удовлетворяют этим свойствам, потому что это единственный путь к пониманию их действительного смысла. Именно владение примерами и контрпримерами обеспечивает успех в усвоении новых понятий. В примерах отношения эквивалентности нет недостатка. Равенство целых чисел, очевидно, удовлетворяет всем свойствам, выписанным выше. Отношение «тот же цвет» на множестве цветных мячей - еще один простой и, пожалуй, самый яркий пример. Среди примеров отношения эквивалентности на множестве многоугольников находятся такие отношения, как «одинаковое число сторон» и «одна и та же площадь».

Отношение эквивалентности используют для классификации элементов данного множества, группируя их в подмножества по принципу схожести свойств. Естественное разбиение множества, индуцированное отношением эквивалентности, называется разбиением на классы эквивалентности. Пусть на множестве X задано отношение эквивалентности и х - элемент этого множества. Классом эквивалентности элемента х называется подмножество в X, состоящее из всех элементов, эквивалентных х относительно Обозначив класс эквивалентности элемента х символом х, можно записать:

Приведем простой пример. Обозначим символом М множество цветных мячей с отношением эквивалентности «тот же цвет». Класс эквивалентности красного мяча в М состоит из всех красных мячей, содержащихся в М.

Одно из свойств классов эквивалентности настолько важно, что мы назовем его основным принципом классов эквивалентности. Принцип гласит, что любой элемент класса эквивалентности - хороший представитель всего класса. Иначе говоря, зная один элемент из класса эквивалентности, можно немедленно восстановить этот класс полностью. Этот факт бросается в глаза, когда мы имеем дело с множеством М цветных мячей и отношением «тот же цвет». Предположим, Вам говорят, что в картонной коробке находятся все элементы одного класса эквивалентности множества М. Увидев один элемент из этого множества (допустим, это синий мяч), Вы немедленно заключаете, что в коробке лежит класс эквивалентности всех синих мячей М. Проще и быть не может!

Вернемся к абстрактному множеству X с отношением эквивалентности Основной принцип говорит, что если у - элемент из класса эквивалентности х, то классы эквивалентности х и у совпадают. То же самое можно выразить короче:

Докажем это непосредственно из определяющих свойств отношения эквивалентности. Если то, по определению класса эквивалентности, Ввиду симметричности, Но если то и Тогда свойство транзитивности влечет Мы доказали включение: . Похожее рассуждение доказывает обратное включение: Вероятно, это все может показаться несколько педантичным. Но основной принцип - такой источник неразберихи и ошибок, что нам не стоит жалеть усилий на прояснение его точного смысла. Кроме того, полезно осознать, что он непосредственно следует из определения отношения эквивалентности. Кстати о педантичности: вы поняли, что свойство вытекает из рефлексивности?

Основной принцип приводит к важнейшему свойству отношения эквивалентности. Как и раньше, пусть X - множество с отношением эквивалентности тогда

(1) X - объединение своих классов эквивалентности относительно и

(2) два разных класса эквивалентности не могут иметь общего элемента.

Первое утверждение следует из часто упоминаемого факта: класс эквивалентности элемента содержит сам этот элемент. Для доказательства второго предположим, что элементы Так как то по основному принципу Аналогично Так что у. Заметим, что свойства (1) и (2) означают, что множество X разбито на непересекающиеся подмножества, классы эквивалентности. Другими словами, мы имеем дело с разбиением множества

Множество, составленное из классов эквивалентности множества X относительно отношения эквивалентности имеет специальное название: фактормножество X по отношению Отметим, что элементы фактормножества - это подмножества в Поэтому фактормножество не является подмножеством в X, будьте внимательны!

Закончим этот параграф примером, в котором проявляется наконец истинная природа дробей. Из чего состоит дробь? Когда Вы на нее смотрите, то видите два числа, одно из которых (знаменатель) должно быть ненулевым. Конечно, Вы ее, вероятно, воспринимаете как частное. Но если на Вас надавить, Вы можете попытаться выбрать более легкий выход и сказать, что дробь в действительности - пара чисел, одно из которых не равно нулю. Однако, такое определение некорректно.

В математике две пары равны, если они имеют одинаковые первый и второй элементы. Так, пары (2,4) и (1,2) неравны. Но дроби 2/4 и 1/2 равны; так что дроби - не пары чисел.

Что же такое дроби? Это элементы фактормножества! Рассмотрим множество пар целых На стандартном жаргоне Две пары и целых чисел можно теперь называть эквивалентными, если Легко проверить, что это отношение эквивалентности, а дробь - класс эквивалентности множества относительно этого отношения. Следовательно, означает не пару а бесконечное множество всех пар из эквивалентных Итак, множество рациональных чисел - это фактормножество множества по только что определенному отношению эквивалентности.

Представьте себе на минуту, что Вы до сих пор ничего о дробях не слышали и Вам придется исходить из описания, сделанного выше. Если Вам теперь скажут, что нужно вычислять с дробями, Вы почувствуете, что имеете вескую причину для паники: Вы же только что выучили, что дробь - это бесконечное множество. Мысль о прибавлении к одному бесконечному множеству другого бесконечного множества внушает легкое беспокойство. Именно в этот момент приходит на помощь основной принцип. Вам не нужно заботиться о бремени всего бесконечного множества; нужно знать только один элемент из него. Этот элемент расскажет Вам обо всем, что

необходимо знать о целом классе эквивалентности. Более того, Вас устроит любой элемент класса.

Итак, Вы можете оперировать с 1/2 как обычно, так же, как если бы это была пара чисел. Вы вспоминаете, что дробь - это класс эквивалентности, только когда (в процессе вычислений) оказывается, что дробь можно сократить. В этот момент вы заменяете одного представителя класса эквивалентности на другой для упрощения вычислений.

Зачем мы сделали такое длинное отступление о дробях? В следующем параграфе определятся отношение эквивалентности на множестве а фактормножество этого отношения играет абсолютно фундаментальную роль в этой книге. Как и в случай дробей, классы эквивалентности будут бесконечны, а нам предстоит делать вычисления с ними. Но теперь Вы знаете, что нет причин для волнения.

Лекция 22. Отношения эквивалентности и порядка на множестве

1. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы.

2. Отношение порядка. Строгое и нестрогое отношения порядка, отношение линейного порядка. Упорядоченность множеств.

3. Основные выводы

Рассмотрим на множестве дробей X = {1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6} отношение равенства. Это отношение:

Рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;

Симметрично, так как из того, что дробь m /n равна дроби p /q , следует, что дробь p /q равна дроби m /n ;

Транзитивно, так как из того, что дробь m /n равна дроби p /q и дробь p /q равна дроби r /s , следует, что дробь m /n равна дроби r /s .

Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности .

Определение. Отношение R на множестве X называется отноше­нием эквивалентности, если оно одновременно обладает свойства­ми рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить отноше­ния равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются парал­лельными).

Почему в математике выделили этот вид отношений? Рассмот­рим отношение равенства дробей, заданное на множестве X = {1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6} (Рис.106). Видим, что множество разбилось на три подмножества: {1/2, 2/4, 3/6}, {1/3, 2/6}, {1/4}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множест­вом Х, т.е. имеем разбиение множест­ва X на классы. Это не случайно.

Вообще, если на множестве X задано отношение эквивалентно­сти, то оно порождает разбиение этого множества на попарно не­пересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробей {1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6} соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных меж­ду собой дробей.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве X, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрим, например, на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно по­рождает разбиение множества X на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в третий - все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множе­ством X. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве X, является отношением экви­валентности. Заметим, что утверждение о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения множества на классы нуждается в доказательстве. Мы его опускаем. Скажем только, что если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задается отношение равенства (а оно является отношением эквивалентности), то множест­во отрезков разбивается на классы равных отрезков (см. рис. 99). От­ношению подобия соответствует разбиение множества треугольников на классы подобных треугольников.

Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу рассмат­риваемого разбиения.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математи­ки. Почему?

Во-первых , эквивалентный - это значит равносильный, взаимо­заменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {1/2, 2/4, 3/6} неразличимы с точки зрения отношения равен­ства, и дробь 3/6 может быть заменена другой, например 1/2. И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых , поскольку в классе эквивалентности оказываются эле­менты, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то счи­тают, что класс эквивалентности определяется любым своим предста­вителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному предста­вителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокуп­ность отдельных представителей из классов эквивалентности. Напри­мер, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольни­ков и т.д. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих , разбиение множества на классы с помощью отноше­ния эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то об­щее, что имеют параллельные между собой прямые.

Вообще любое понятие, которым оперирует человек, представляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» - все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имеющих одинаковое назначение.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка.

Определение. Отношение R на множестве X называется отноше­нием порядка, если оно одновременно обладает свойствами анти­симметричности и транзитивности .

Примерами отношений порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел; отношение «короче» на множе­стве отрезков, поскольку они антисимметричны и транзитивны.

Если отношение порядка обладает еще свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойства­ми антисимметричности, транзитивности и связанности.

Определение. Множество X называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если за­дать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве X, обладает свойст­вом связанности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество X.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» - оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связанности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество на­туральных чисел линейно.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения экви­валентности и отношения порядка. Существует огромное число от­ношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отно­шениями порядка.