В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$

Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$

При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$

Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах

$−\frac{π}{2}

и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале

$−\frac{π}{2}

Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$

Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции-это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции
Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим, что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)?

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6

Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка , косинус которого равен α.

График функции

Функция у= cos(⁡x) на отрезке , строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈, называется арккосинусом и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок .
Отметим, что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈,относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Так как область значений arccos(x) х∈, то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку , то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

График функции

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал
(-π/2;π/2).
Отметим, что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Пример№5?

Найти arctg((√3)/3).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Функция y=arcctg(x)

Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

График функции

На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).

Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y
Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

при

при

при

при

при

при

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции . Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1 .

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Теория

Конспект урока

Вспомним, когда мы встречаемся с таким понятием как обратная функция. Например, рассмотрим функцию возведения в квадрат. Пусть у нас есть квадратная комната со сторонами по 2 метра и мы хотим вычислить ее площадь. Для этого по формуле пощади квадрата возводим двойку в квадрат и в результате получаем 4 м 2 . Теперь представим себе обратную задачу: мы знаем площадь квадратной комнаты и хотим найти длины ее сторон. Если мы знаем, что площадь равна все тем же 4 м 2 , то выполним обратное действие к возведению в квадрат - извлечение арифметического квадратного корня, который нам даст значение 2 м.

Таким образом, для функции возведения числа в квадрат обратной функцией является извлечение арифметического квадратного корня.

Конкретно в указанном примере у нас не возникло проблем с вычислением стороны комнаты, т.к. мы понимаем, что это положительное число. Однако если оторваться от этого случая и рассмотреть задачу более общим образом: «Вычислить число, квадрат которого равен четырем», мы столкнемся с проблемой - таких чисел два. Это 2 и -2, т.к. тоже равна четырем. Получается, что обратная задача в общем случае решается неоднозначно, и действие определения числа, которое в квадрате дало известное нам число? имеет два результата. Это удобно показать на графике:

А это значит, что такой закон соответствия чисел мы не можем назвать функцией, поскольку для функции одному значению аргумента соответствует строго одно значение функции.

Для того чтобы ввести именно обратную функцию к возведению в квадрат и было предложено понятие арифметического квадратного корня, который дает только неотрицательные значения. Т.е. для функции обратной функцией считается .

Аналогично существуют и функции, обратные к тригонометрическим, их называют обратными тригонометрическими функциями . К каждой из рассмотренных нами функций существует своя обратная, их называют: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс .

Эти функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, с использованием таблицы значений основных тригонометрических функций можно вычислить синус какого угла равен . Находим это значение в строке синусов и определяем, какому углу оно соответствует. Первое, что хочется ответить, что это угол или , но если у вас в распоряжении таблица значений до , вы тут же заметите еще одного претендента на ответ, - это угол или . А если мы вспомним о периоде синуса, то поймем, что углов, при которых синус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для косинусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью.

Т.е. мы сталкиваемся с той же проблемой, которая была для вычисления значения аргумента по значению функции для действия возведения в квадрат. И в данном случае для обратных тригонометрических функций было введено ограничение области значений, которые они дают при вычислении. Это свойство таких обратных функций называют сужением области значений , и оно необходимо для того, чтобы их можно было называть функциями.

Для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно. Например, арксинус возвращает значения углов в диапазоне от до .

Умение работать с обратными тригонометрическими функциями нам пригодится при решении тригонометрических уравнений.

Сейчас мы укажем основные свойства каждой из обратных тригонометрических функций. Кто захочет познакомиться с ними более подробно, обратитесь к главе «Решение тригонометрических уравнений» в программе 10 класса.

Рассмотрим свойства функции арксинус и построим ее график.

Определение. Арксинусом числа x

Основные свойства арксинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арксинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная Эту формулу желательно отдельно запомнить, т.к. она полезна для преобразований. Также отметим, что из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

Построим график функции :

Обратим внимание, что никакой из участков графика функции не повторяется, а это означает, что арксинус не является периодической функцией, в отличие от синуса. То же самое будет относиться и ко всем остальным аркфункциям.

Рассмотрим свойства функции арккосинус и построим ее график.

Определение. Арккосинусом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем как ограничения на значения синуса, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арккосинуса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арккосинус:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция не является ни четной ни нечетной, т.е. общего вида . Эту формулу тоже желательно запомнить, она пригодится нам позже;

4) Функция монотонно убывает.

Построим график функции :

Рассмотрим свойства функции арктангенс и построим ее график.

Определение. Арктангенсом числа x называют такое значение угла y, для которого . Причем т.к. ограничений на значения тангенса нет, а как выбранный диапазон углов.

Основные свойства арктангенса:

1) при ,

2) при .

Основные свойства функции арктангенс:

1) Область определения ;

2) Область значений ;

3) Функция нечетная . Эта формула тоже полезна, как и аналогичные ей. Как в случае с арксинусом, из нечетности следует симметричность графика функции относительно начала координат;

4) Функция монотонно возрастает.

Построим график функции :

В этой статье мы разберем такие важные понятия в тригонометрии, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Мы можем найти значения чисел (углов), если знаем данные тригонометрических функций; это и есть та самая задача, что приводит нас к обратным функциям.

Ниже мы не только дадим определения основных понятий и общепринятые обозначения, но и приведем расчеты, из которых будет ясно, что они из себя представляют. В конце мы попробуем связать понятия арккотангенса, арктангенса, арккосинуса и арксинуса с понятием единичной окружности.

Основные определения

Все перечисленные выше понятия - арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – можно рассматривать как в качестве числа, так и в качестве угла. Ранее мы уже говорили о такой же двойственности восприятия прямых функций (синус, косинус и др.) Рассмотрим оба подхода отдельно.

Арксинус и другие обратные функции как угол

Допустим, у нас есть некий угол, синус которого равен 1 2 . Обозначим его буквой альфа.

Итак, sin α = 1 2 . Такое значение синуса может быть у бесконечного числа углов: α = (− 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (− 1) k · π / 6 + π · k) , где k ∈ Z . Поэтому нам потребуется ввести дополнительные условия. Пусть угол альфа будет не менее - 90 и не более 90 градусов (т.е. (в радианах он будет принадлежать отрезку [ − π 2 , π 2 ]),). В таком случае наше равенство sin α = 1 2 позволит обозначить угол альфа более ясно: в таких условиях им будет только один угол – в 30 градусов (π 6 радианов).

Исходя из указанного равенства, мы можем сделать вывод, что угол альфа определяется при условии любого числа a ∈ [ − 1 , 1 ] и условии − 90 ° ≤ α ≤ 90 ° . Этот угол - и есть арксинус числа a .

Сформулируем основные определения.

Определение 1

• Арксинус - это функция, обратная sin . Для некоторого числа а она представляет собой угол от - 90 до 90 градусов, sin которого равен a .
• Арккосинус - функция, обратная косинусу. Для числа a - это такой угол, cos которого равен a , и который при этом находится в диапазоне от 0 до 180 градусов.
• Арктангенс -тригонометрическая функция, обратная тангенсу. Для некоторого числа a u 1 это угол, величина которого находится в диапазоне от - 90 до 90 градусов, тангенс которого равен a .
• Арккотангенс числа а есть также угол величиной от 0 до 190 градусов, котангенс которого равен a .

Подытожим: так, запись a r c sin 0 , 3 означает всего лишь угол, синус которого равняется 0 , 3 ; a r c cos 0 , 7 - угол с косинусом 0 , 7 и так далее.

Подписи вида a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g являются общепринятыми для записи обратных тригонометрических функций. Иногда в справочниках, особенно тех, что составлены на английском языке, можно встретить немного другие обозначения для арккотангенса и арктангенса - a r c tan и a r c c o t . Они значат то же самое, но у нас не распространены, поэтому пользоваться ими мы не будем.

Вышеуказанные определения можно сформулировать в более краткой и символической форме:

Определение 2

• arcsin числа а в диапазоне от минус единицы до единицы есть угол с sin α = a величиной − 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (− π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccos числа а в диапазоне от минус единицы до единицы есть угол с cos = a величиной 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctg любого числа а есть угол с t g α = a величиной − 90 ° < α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctg любого числа а есть угол с c t g α = a величиной что 0 ° < α < 180 ° (0 < α < π)

Обратите внимание, что в определениях arcsin и arccos стоит диапазон от минус единицы до плюс единицы, а для двух других функций а может быть любым числом. Получается, что арксинус 3 - ошибочная запись, ведь тройка не принадлежит у указанному диапазону. Также бессмысленны записи a r c sin 5 , a r c cos - 7 , a r c sin - 3 , 7 2 3 и с любыми другими значениями, которые выходят за пределы нужного нам отрезка, ведь синус и косинус не бывают больше единицы и меньше минус единицы. В случае с арктангенсом и арккотангенсом такой проблемы нет, для них подойдет любое действительное число, в том числе ноль, пи и так далее.

Пример 1

Теперь разберем примеры обратных функций числа. Для начала возьмем арксинус. Из его базового определения следует, что угол π 3 - арксинус числа 3 2 , таким образом, (в данном случае α = 3 2 и α = π 3).

3 2 - число, которое меньше единицы и больше минус единицы, а угол π 3 находится в пределах от - π 2 до π 2 и sin π 3 = 3 2 .

Пример 2

Другими примерами a r c sin являются записи вида a r c sin (− 1) = − 90 ° , a r c sin (0 , 5) = π 6 , a r c sin (- 2 2) = - π 4 . При этом π 10 не может быть a r c sin 1 2 , потому что sin (π 10) ≠ 1 2 .

Пример 3

Возьмем следующий пример: sin 270 градусов - минус единица, но при этом обратное неверно: угол 270 - не арксинус - 1 , потому что a r c sin должен быть не более 90 градусов. Угол в 270 градусов не является арксинусом ни одного числа, потому что лежит за пределами нужного диапазона.

Пример 4

Найдем примеры других обратных функций. Так, угол 0 радианов есть арккосинус 1 , т.е, a r c cos 1 = 0 .Здесь все условия арккосинуса выполняются, число принадлежит нужному отрезку, угол заданной величины находится в пределах от нуля до пи и cos 0 = 1 . Угол π 2 - арккосинус нуля: a r c cos 0 = π 2 .

Пример 5

Согласно определению арктангенса, значения a r c t g (− 1) = − π 4 или a r c t g (− 1) = − 45 ° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π 3 рад) . Из этого можно сделать вывод, что a r c c t g 0 = π 2 , так как угол π 2 лежит в рамках от 0 до π и c t g (π 2) = 0 .

Если вы хотите более подробно изучить такой подход к определению обратных тригонометрических функций, рекомендуем вам учебник Кочеткова (ч.1, стр. 260-278)

Арксинус и другие обратные функции как число

В том случае, если в задаче речь идет, скажем, о синусе угла, то логично его арксинус также воспринимать как угол. Если нам нужно, например, вычислить косинус некоторого числа, то тут важно встать на другую точку зрения и рассмотреть обратные функции как числа. Исходя из второго подхода, можно немного переформулировать определения:

Определение 3

• Арксинус а есть некоторое число, t ∈ [ − π 2 , π 2 ] , синус которого равен a .
• Арккосинус числа a ∈ [ − 1 , 1 ] есть некоторое число t ∈ [ 0 , π ] , косинус которого равен a .
• Арктангенс числа a ∈ (− ∞ , + ∞) - это такое число t ∈ (− π 2 , π 2) , тангенс которого равен a .
• Арккотангенс числа a ∈ (− ∞ , + ∞) есть такое число t ∈ (0 , π) , котангенс которого равен a .

Такие формулировки типичны для большинства современных учебников по математике.

Пример 6

Какой же подход следует выбирать? Как понять, когда лучше рассматривать значения арксинуса и прочих функций как углы, а когда - как числа? Это можно понять из контекста задачи. Обычно если там упоминается, скажем, a r c sin a - 11 ° , то это угол. Если мы видим запись вида π − a r c t g a , то, скорее всего, это просто число или же угол, измеренный в радианах. Если же встречаются просто формулировки вида a r c sin , a r c c t g и др. без указаний чисел и значений, то мы вольны выбирать любой подход, который хотим.

Более наглядно представить обратные функции числа можно геометрически: ведь если это углы, их можно изобразить на чертеже. Это просто сделать, если вы еще не забыли базовые определения основных прямых функций.

Для этого нам понадобится уже знакомая нам единичная окружность. Ее дуги, связывающие между собой основные углы, и будут соответствовать величинам обратных функций.

Например, возьмем дугу, которая проиллюстрирует нам арксинус некого числа a . Проведем линию синусов и укажем на ней точку в соответствии с величиной a . Из этой точки теперь нужно попасть к оси абсцисс (возьмем положительное направление). У нас получился луч, который пересечет окружность в особой точке. Арксинус числа a - это и есть часть дуги окружности от этой точки до начала координат. Вспомним два подхода к рассмотрению функций: как угол и как число. Угол, соответствующий дуге, - это иллюстрация арксинуса в рамках первого подхода, а длина дуги, выраженная количественно, иллюстрирует арксинус в рамках второго.

Теперь нарисуем дуги, которые проиллюстрируют для нас остальные обратные функции. На втором графике они отмечены синими линиями. Взгляните, как можно графически отобразить понятия a r c sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g для произвольного числа a (в указанных выше диапазонах):

Вывод: что такое аркфункции

В итоге мы можем сформулировать следующее: для любого числа a a ∈ [ − 1 , 1 ] можно вычислить углы - арксинус и арккосинус, а для каждого действительного числа - углы арктангенс и арккотангенс. Эта точка зрения позволяет сопоставить между собой числовое значение аргумента и конкретный угол, который является значением функции.

Мы можем смотреть на понятия a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g как на числа и как на углы. Если мы берем их в качестве чисел, то они являются числовыми функциями: каждому значению а соответствует число.

Подытожим: все эти четыре понятия - и есть обратные тригонометрические функции. Название понятно: арксинус противопоставлен синусу, арккосинус - косинусу, арктангенс - тангенсу, арккотангенс - котангенсу. Поэтому еще одно распространенное собирательное название для них - аркфункции.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter