Введение 3

Теоретическая часть 4

Практическая часть 9

Заключение 13

Собственые мысли. 13

Список литературы 14

Введение

В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.

Теоретическая часть

В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей - так называемая «схема гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 2 , ..., S n-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S 1 , S n) - только с одним соседним состоянием.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S 0 - все три узла исправны;

S 1 - один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S 2 - Два узла восстанавливаются, один исправен;

S 3 - все три узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S 1 имеем:

Для второго состояния S 2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р ъ р 2 > ..., р п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р 2:

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S k ; в знаменателе - произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S k . При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе - у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Практическая часть

Процессы Маркова, в частности гибели и размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно в произвольный момент времени, когда наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе - его гибелью.

Естественное размножение пчелиных семей - роение - с точки зрения протекающих в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать как вероятностный процесс, когда семья в определенный момент времени может перейти из рабочего состояния в роевое. В зависимости от различных факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических и климатических, оно может закончиться роением или возвратом семьи в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять теорию однородных процессов Маркова.

Интенсивность перехода пчелиной семьи в роевое состояние - размножение - в значительной мере определяется темпами накопления молодых бездеятельных пчел. Интенсивность обратного перехода - «гибели» - возвращением семьи в рабочее состояние, которая, в свою очередь, зависит собственно от роения, отбора расплода и пчел (формирование отводков), количества собираемого нектара и т.д.

Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).

Моделирование отбора из семьи части пчел (увеличения их «гибели») показало, что вероятность возникновения рабочего состояния логарифмически возрастает, а вероятность роения логарифмически сокращается. При противороевом приеме - отборе из семьи 5–7 тыс. пчел (две-три стандартные рамки) - вероятность роения составит 0,05, а вероятность рабочего состояния - 0,8; отбор более трех рамок с пчелами снижает вероятность роения на очень малую величину.

Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.

Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в то или иное состояние.

Меем следующий граф, представляющий собой процесс гибели и размножения.

Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.

Имея интенсивности перехода в то или иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.

Используя формулы, приведенные в теоретической части находим:

Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.

Заключение

Подведем итог.

В данной работе была приведена теоретическая справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.

Было показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

Собственые мысли.

На мой взгляд марковские процессы гибели и размножения безусловно полезны в различных сферах деятельности человека, но у них есть ряд недостатков, в частности система из любого своего состояния непосредственно может перейти только в соседнее с нею состояние. Данный процесс не отличается особой сложностью и сфера его применения немного узко-специализирована, но, тем не менее, данный процесс может использоваться в сложных моделях в качестве одного из компонента новой модели, например при моделировании документооборота в компании, задействовании станков в цеху и так далее.

Реферат >> Биология

Половое и бесполое размножение . При бесполом размножении новый организм возникает из... . Если несколько сперматозоидов – гибель клетки. Ядро сперматозоида набухает, ... . Пол будущего организма определяется в процессе онтогенеза. У человека имеет место...

Процессы горения и взрыва

Книга >> Химия

Горения с прикладными науками о безопасности технологических процес­сов и строительных объектов. Книга предназначена в качестве... при пожаре, пожарная безопасность техноло­гических процессов , производственная и пожарная автоматика, прогно­зирование опасных...

Решение задач по теории вероятности

Реферат >> Математика

Главе рассматриваются: определение случайного процесса и его характеристики, понятие... узлов очевидна. Пример 7.6 Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). ... нормированную корреляционную функции случайного процесса . Построить граф состояний...

Биология (8)

Реферат >> Биология

Клеток материнского организма в процессе размножения . Локализация в ядрах клеток, участвующих в размножении , генов и хромосом, ... выживанию одних и гибели других особей. 4. Естественный отбор - процесс сохранения и размножения особей с наследственными...

В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения.

Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей - так называемой «схемой гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 4.38, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния - только с одним соседним состоянием.

Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

Все три узла исправны;

Один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

Два узла восстанавливаются, один исправен;

Все узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис. 4.39. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 4.40

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния имеем:

Для второго состояния суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (8.1), можно сократить справа и слева равные друг другу члены получим:

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до .

Итак, предельные вероятности состояний в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

и нормировочному условию:

Будем решать эту систему следующим образом: из первого уравнения (7.3) выразим

из второго, с учетом (8.5), получим:

из третьего, с учетом (8.6):

Эта формула справедлива для любого k от 2 до .

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние в знаменателе - произведение всех интенсивностей стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния При в числителе будет стоять произведение интенсивностей стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе - у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: Подставим эти выражения в нормировочное условие: Получим:

Остальные вероятности выражаются через

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 4.41.

Решение По формулам (8.8) и (8.9) имеем:

Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов - простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно Отказавший узел сразу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно р; закон распределения этого времени показательный (поток восстановлений - простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух - 50%, а при одном и менее - прибор вообще не работает.

Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность (см. рис. 4.42).

Рассмотрим еще одну типичную схему непрерывных марковских цепей - так называемую схему гибели и размножения, часто встречающуюся в разнообразных практических задачах.

Марковский процесс с дискретными состояниями S 0 , S 1 , ..., S n называется процессомгибели и размножения , если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 , ...,
S n -1 ) может переходить только в соседние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S 0 и S n ) переходят только в соседние состояния (рис. 3.7).

Название взято из биологических задач, где состояние популяции S k означает наличие в ней k единиц особей.

Переход вправо связан с размножением единиц, а влево - с их гибелью.

Рис. 3.7. Граф состояний для процесса гибели и размножения

l 0 (t), l 1 (t), l 2 (t), …, l n (t) - интенсивности размножения;

m 1 (t), m 2 (t), …, m n (t) - интенсивности гибели.

У l и μ индекс того состояния, из которою стрелка выходит.

С состоянием S k связана неслучайная величина Х k : если система S в момент времени t находится в состоянии S k , то дискретная случайная величина X(t) , связанная с функционированием системы, принимает значение k . Таким образом, получаем случайный процесс Х(t), который в случайные, заранее неизвестные моменты времени скачком изменяет свое состояние.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называется такой случайный процесс, который может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, т. е. в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо остаться неизменным.

В практике встречаются процессы чистого размножения и чистой гибели. Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю; аналогично процессом чистой «гибели» называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.

Пример 1. Рассмотрим эксплуатацию моделей автомобилей одной марки в крупной транспортной фирме (на предприятии). Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна l(t) . Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывается через случайное время T c . Срок службы автомобиля t распределен по показательному закону с параметром m . Процесс эксплуатации автомобилей является случайным процессом. A(t) - число автомобилей данной марки, находящихся в эксплуатации в момент t . Найдем одномерный закон распределения случайного процесса P i (t) = P{A(t) = i}, если: 1) нет ограничений на число эксплуатируемых машин, 2) на предприятии может эксплуатироваться не более n автомобилей.

Решение.

1. Случайный процесс эксплуатации автомобилей есть процесс гибели и размножения, размеченный граф которого представлен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова, соответствующая этому графу, имеет вид

где i = 1, 2, …

Если в начальный момент времени t = 0 на предприятии не было ни одного автомобиля, то решать эту систему уравнений нужно при начальных условиях P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (i = 1, 2, …). Если при t = 0 на предприятии было k автомобилей (k = 1, 2, ...), то начальные условия будут иметь вид

P k (0) = 1, P i (0) = 0 (i = 1, 2, …, i ¹ k ).

2. Если на предприятии может эксплуатироваться не более nавтомобилей моделей одной марки, то имеет место процесс гибели и размножения с ограниченным числом состояний, размеченный граф которого представлен на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Граф состояний

Система уравнений Колмогорова для размеченного графа (рис. 3.9) имеет вид (3.4).

Эту систему надо решать при начальных условиях, рассмотренных выше. Решения систем уравнений (3.4) и (3.5) являются одномерными законами распределения Р i (t). Отыскание решений систем в общем виде при произвольном виде функции l(t) представляет значительные трудности и не имеет практических приложении.

При постоянных интенсивностях потоков гибели и размножения и конечном числе состояний будет существовать стационарный режим. Система S с конечным числом состояний (n + 1), в которой протекает процесс гибели и размножения с постоянными интенсивностями потоков гибели и размножения, является простейшей эргодической системой. Размеченный граф состояний для такой системы представлен на рис. 3.9.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего эргодического процесса гибели и размножения, находящегося в стационарном режиме, определяются по следующим формулам:

Правило. Вероятность k -гo состояния в схеме гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S k , а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S k , умноженной на вероятность кранного левого состояния системы P 0 .

В предыдущем примере для стационарного режима если интенсивность поступления автомобилей постоянная (l(t) = l = const ), то финальные вероятности состояний при условии, что нет ограничений на число автомобилей на предприятии, равны

При этом математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей равно его дисперсии:

M = D = l /m. (3.10)

Если существует ограничение по числу автомобилей на предприятии (не более n ), то финальные вероятности можно записать в таком виде:

где ρ = l /m .

где k = 0, 1, 2, ..., n .

Математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме

Пример 2. В состав поточной лини входит четыре станка. Бригада в составе четырех человек обслуживающего персонала проводит профилактический ремонт каждого из них. Суммарный поток моментов окончания ремонтов для всей бригады - пуассоновский с интенсивностью l(t). После окончания ремонта станок проверяется; с вероятностью Р он оказывается работоспособным (время проверки мало, и им можно пренебречь по сравнению со временем профилактики). Если станок оказывается неработоспособным, то вновь проводится его профилактика (время на которую не зависит от того, проводилась ли она ранее) и т. д. В начальный момент все станки нуждаются в профилактическом ремонте. Требуется:

1. Построить граф состояний для системы S (четыре станка).

2. Написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний.

3. Найти математическое ожидание числа станков M t , успению прошедших профилактику к моменту t .

Решение.

Граф состояний показан на рис. 3.10, в котором:

S 0 – все четыре станка нуждаются в профилактическом ремонте;

S 1 – один станок успешно прошел профилактику, а три нуждаются в профилактическом ремонте;

S 2 – два станка успешно прошли профилактику, а два нуждаются в профилактическом ремонте;

S 3 – три станка успешно прошли профилактику, один нуждается в профилактическом ремонте;

S 4 – все четыре станка успешно прошли профилактику.

Рис. 3.10. Граф состояний системы

Каждый профилактический ремонт успешно заканчивается с вероятностью P , что равносильно P -преобразованию потока окончаний ремонтов, после которого он останется пуассоновским, но с интенсивностью Pl(t) . В этом примере мы имеем дело с процессом чистого размножения с ограниченным числом состояний.

Уравнения Колмогорова имеют следующий вид:

Начальные условия P 0 (0) = 1, P 1 (0) = … = P 4 (0) = 0. При постоянной интенсивности l(t) = l и вероятности состоянии определяются по следующим формулам:

Математическое ожидание числа дисков, успешно прошедших профилактику к моменту t, равно

где n = 4.

Пример 3. Рассмотрим производство автомобилей на заводе. Поток производимых автомобилей - нестационарный пуассоновский с интенсивностью l(t). Найдем одномерный закон распределения случайною процесса X(t) - число выпушенных автомобилей к моменту времени t , если в момент t = 0 начат выпуск автомобилей.

Решение

Очевидно, что здесь процесс чистого размножения без ограничения на число состояний, при этом l i (t) = l(t) , так как интенсивность выпуска автомобилей не зависит от того, сколько их уже выпушено. Граф состояний такого процесса показан на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Граф состояний

Одномерный закон распределения случайного процесса Х(t) для графа, изображенного на рис. 3.11, определяется следующей системой уравнений Колмогорова:

Так как число выпушенных автомобилей X(t) на любой фиксированный момент t распределено по закону Пуассона с параметром

M = D = a(t).

Рассмотренный в этом примере процесс X(t) называетсянеоднородным процессом Пуассона. Если интенсивность l(t) = l = const , то получим однородный процесс Пуассона . Для такого процесса при P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (i > 0)

Характеристиками процесса Пуассона будут

M = D = l×t.

Задача 1. Имеется прибор, который состоит из четырех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно 11 час. Отказавший узел сразу начинает ремонтироваться; среднее время ремонта узла равно 2 час. (поток восстановления простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при четырех работающих узлах она равна 100%, при трех 60%, при двух и менее прибор вообще не работает.

Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде.

В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния - только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, - простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс - простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно).

Для первого состояния имеем:

Для второго состояния

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

где к принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности удовлетворяют уравнениям

кроме того, надо учесть нормировочное условие

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2) выразим через :

Из второго, с учетом (19.4), получим;

из третьего, с учетом (19.5),

и вообще, для любого к (от 1 до ):

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния ), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до ).

Таким образом, все вероятности состояний выражены через одну из них Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку

отсюда получим выражение для :

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через (см. формулы (19.4)-(19.7)). Заметим, что коэффициенты при в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

2. Формула Литтла. Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе .

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.

Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность .

Обозначим: - число заявок, прибывших в СМО до момента число заявок, покинувших СМО до момента

И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок и уходов заявок Вид функций показан на рис. 19.2; обе линии - ступенчатые, верхняя - нижняя Очевидно, что для любого момента разность есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 19.2. Разглядим хорошенько этот рисунок. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена h,

Если да, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

(19.10)

В предыдущем параграфе мы убедились, что зная размеченный граф состояний системы, можно сразу написать алгебраические уравне­ния для предельных вероятностей состояний. Таким образом, если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и раз­личаются только значениями интенсивностей λ ij , то нет надобности находить предельные вероятности состояний для каждого из графов в от­дельности: достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо λ ij , соответствующие зна­чения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные урав­нения легко решаются в буквенном виде.

Рис. 29

В данном параграфе мы познакомимся с одной очень типичной схемой непрерывных марковских цепей – так называемой «схемой гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис.29, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в кото­рой каждое из средних состояний (S 2 , ..., S n –1) связано прямой и об­ратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S 1 , S n) – только с одним соседним состоянием.

Пример 1. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния систе­мы нумеруем по числу неисправных узлов:

S 0 – все три узла исправны;

S 1 – один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S 2 – два узла восстанавливаются, один исправен;

S 3 – все три узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис.30. Из графа видно, что про­цесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Рис. 30

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых раз­нообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рас­смотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с кон­кретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать зада­чу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с гра­фом состояний, представленным на рис.31

Рис. 31

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S 1 имеем:

λ 12 p 1 = λ 21 p 2 (7.1)

Для второго состояния S 2 суммы членов, соответствующих входя­щим и выходящим стрелкам, равны:

λ 23 p 2 + λ 21 p 2 = λ 32 p 3 + λ 12 p 1

Но, в силу (7.1), можно сократить справа и слева равные друг дру­гу члены и; получим:

λ 23 p 2 = λ 32 p 3

λ 34 p 3 = λ 43 p 4

. . . . . . . . .

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответ­ствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

λ k -1,k p k -1 = λ k,k -1 p k (7.2)

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р 1 , р 2 , ..., р n в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

λ 12 p 1 = λ 21 p 2

λ 23 p 2 = λ 32 p 3

λ 34 p 3 = λ 43 p 4

. . . . . . . . . . . (7.3)

λ k -1,k p k -1 = λ k,k -1 p k

. . . . . . . . . . .

λ n -1, n p n -1 = λ n , n -1 p n

и нормировочному условию:

р 1 + р 2 + ... + р n = l (7.4)

Будем решать эту систему следующим образом: из первого урав­нения (7.3) выразим р 2:

Из второго, с учетом (7.5), получим:

(7.6)

Из третьего, с учетом (7.6):

(7.7)

Эта формула справедлива для любого k от 2 до n .

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведе­ние всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) λ ij , стоя­щих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние Sk ; в знаменателе – произве­дение всех интенсивностей λ ij , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S k . При k =n в числителе будет стоять произведение интен­сивностей λ ij , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе – у всех стрелок, идущих справа налево

Итак, все вероятности р 1 , р 2 , ..., р n выражены через одну из их: p 1. Подставим эти выражения в нормировочное условие: р 1 + р 2 + ... + р n = l Получим:

Остальные вероятности выражаются через p 1:

(7.9)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Пример 2. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 32.

Рис. 32

Решение. По формулам (7.8) и (7.9) имеем:

Пример 3. Прибор состоит из трех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно . Отказавший узел сра­зу же начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно ; закон распределения этого времени показательный (поток восста­новлений простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух – 50%, а при одном и менее – прибор вообще не работает.

Решение. Перечень состояний системы и граф состояний уже приводились в примере 1 данного параграфа. Разметим этот граф, т. е. проставим у каждой стрелки соответствующую интенсивность λ ij (см. рис. 33.).

Рис. 33.

Так как поток отказов каждого узла – простейший, то промежуток вре­мени между отказами в этом потоке распределен по показательному закону с па­раметром , где –среднее время безотказной работы узла.

По стрелкам вправо систему переводят отказы. Если система на­ходится в состоянии S 0 , то работают три узла; каждый из них подвергается по­току отказов с интенсивностью ; значит, поток отказов, действующий на всю систему, в три раза более интенсивен: = 0,5 и

Средняя производительность прибора в установившемся режиме:

Номинала.

Происхождение термина «схема гибели и размножения» ведет начало от биоло­гических задач, где подобной схемой описывается процесс изменения числен­ности популяции