Меню Рубрики

Практическое применение теории бифуркаций. Бифуркации динамических систем

Исследование качественных математических моделей сопровождается возникновением качественных вопросов, можно разделить на две категории:

  • Вопросы, относящиеся к поведению системы при фиксированных значениях параметров; важным при этом является качественное понимание характера режимов, устанавливаемых в системе;
  • Вопросы, касающиеся событий, которые происходят в системе при изменении значений параметров. Медленное изменение параметра может привести к тому, что при пересечении некоторого критического значения режим, установившийся в системе, приобретает качественные изменения. При таких перестройках фазовый портрет изучаемой системы, изменяется. Качественные перестройки фазового портрета называются бифуркация .
Итак, вопрос второго типа предполагают определение бифуркационных значений параметров и описание явлений, происходящих при переходе через критические значения.

Задачи теории бифуркаций

Решением вопросов данного типа занимается теория бифуркации, задачами которой являются:
  1. описание всех возможных бифуркации исследуемой системы;
  2. разбиение множества бифуркационных значений параметров на области с разными типами грубых фазовых портретов;
  3. построение для каждой области соответствующего фазового портрета.
Пример . Рассмотрим возникновение и сущность бифуркации. Пусть имеем динамическую систему, заданную уравнением Приравняем правую часть описания системы к нулю и проанализируем, какие значения может принимать параметр, т.е. как он влияет на поведение системы. Имеем уравнение: x 2 = -r . (*) При r<0 уравнение (*) имеет положительную правую часть. Итак, решений имеем два: Изобразим данный случай графически (рис. 1)
Рисунок 1 - Поведение исследуемой системы в случае r<0 Первая точка (слева) устойчива, так как из рис. 1 видно, что функция меняет свой знак с «+» на «-». Вторая точка - неустойчива, так как из рис. 1 видно, что функция меняет свой знак с «-» на «+».
  1. При r = 0 уравнение (*) имеет один корень. В этой точке, следовательно мы не можем аналитически определить тип устойчивости. Фазовый график представлен на рис. 2.
Рисунок 2 - Поведение исследуемой системы в случае r = 0 Из анализа графика рис. 2 можно установить, что функция f(x) при переходе через особую точку не меняет знак, следовательно эта точка является неустойчивой.
  • При r > 0 точек равновесия нету:
Рисунок 3 - Поведение исследуемой системы в случае r > 0 Итак, полустойкие точка равновесия исчезает, как только становится положительным. Так как характеристики точек равновесия меняются со временем, говорят, что динамическая система имеет бифуркацию. В данном случае значение параметра меняются от отрицательных через ноль к положительным и характеристики стационарных точек изменяются так, как показано на рис. 1-3. Следовательно, в точке происходит бифуркация.

Точка бифуркации

Точка бифуркации - это такое состояние системы, при котором даже незначительное возмущение может привести к глобальным изменениям. Аналогично выражения «взмах крыла бабочки привел к урагану в Калифорнии». Рыцарь на распутье - это , космический аппарат, летящий между Землей и Луной и не имеющий необходимой скорости, чтобы выйти из гравитационного поля одной или другой планеты - точка бифуркации. Станет он спутником Земли или Луны, зависит от микроскопических возмущений типа солнечного ветра или микрометеоритов. На фондовом и валютном рынках уровни поддержки или сопротивления являются точками бифуркации. Ценные бумаги или валюта, достигнув их, или сорвутся вниз, либо пойдут вверх и это зависит от очень незначительных факторов. Август 1991 г. - точка бифуркации для СССР. Точи бифуркации часто встречаются в потоках газов и жидкости. Поэтому так трудно предсказать погодные условия.
Предсказание погодных условий при помощи точек бифуркации. Термин «бифуркация» буквально означает «раздвоение», но применяется в более широком смысле для обозначения всех возможных качественных перестроек некоторого объекта при изменении параметра, от которого он зависит. Существуют разные . В примере для функции значение параметра ε = 0 соответствует точке бифуркации, так как при переходе ε от отрицательных значений к положительным стационарное состояние х=0 стало неустойчивым и дополнилось парой устойчивых состояний - при отрицательных значениях ε стационарные состояния вообще отсутствуют, а в точке ε = 0 происходит рождение таких состояний, один из которых устойчив, а другой - неустойчивый. В обоих случаях значения ε = 0 соответствуют точкам бифуркации, хотя и разных типов. Проблемой исследования точек бифуркации является их классификация и анализ поведения семейств функций вблизи структурно неустойчивых особых точек.

Обзор

Бифуркация - это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая - при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой . В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой .

Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой .

Основные методы теории бифуркаций - это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).

Бифуркация равновесий

В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров . Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями . Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями . Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

Основные понятия

См. также

Литература

  1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М .: Наука, 1967.
  2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
  3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М .: Наука. 1955.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория бифуркаций" в других словарях:

    Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… … Википедия

    Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия

    Основная статья: Теория бифуркаций Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при… … Википедия

    Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

    БИФУРКАЦИЯ, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. 20 в., затем эта теория была развита А. А. Андроновым и учениками … Энциклопедический словарь

    - (от греч. katastrophe поворот, переворот), 1) совокупность приложений теории особенностей гладких (дифференцируемых) отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсеместно встречаются и их особенности … Естествознание. Энциклопедический словарь

    В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Ласточкин хвост. Ласточкин хвост (англ. swallow tail) нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим… … Википедия

    Основная статья: Теория бифуркаций Постоянная Фейгенбаума универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом… … Википедия

Катастрофой называется скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Математическое описание явлений, связанных с резкими скачками и качественными изменениями картины процесса, дается теориями особенностей и бифуркаций; бифуркации (катастрофы) представляют собой разрывы в системах, описываемых гладкими (непрерывными) функциями. Теория катастроф французского математика Р. Тома (R.Thom) - топологическая формализация, математический язык которой сложен даже для математиков. Теории особенностей, бифуркаций и катастроф наилучшим образом изложены в доступной для понимания биолога и небольшой по числу страниц книге «Теория катастроф» нашего соотечественника В.И. Арнольда, одного из лучших математиков мира. Эти теории описывают возникновение дискретных структур из непрерывных, называемых математиками гладкими.

Итак, источники теории катастроф – теория бифуркаций динамических систем великих математиков А. Пуанкаре (H. Poincare) и А.А. Андронова и топологическая теория особенностей гладких отображений Х. Уитни (H. Whitney). Некоторое представление об топологических особенностях может дать изображение так называемой каустики (от греч. «жгущий»), возникающей при отражении от окружности пучка параллельных лучей (рис. 1) – к примеру, в чашке с жидкостью.

Рис. 1. Каустика при отражении от окружности пучка лучей (Брус, Джиблин, 1988)

Топологическая особенность, называемая сборкой, она же бифуркация, элементарная катастрофа, схематически показана на рис. 2.

Рис. 2. Топологическая особенность (сборка) и ее проекция на плоскость (Брус, Джиблин, 1988)

Термин «бифуркация» (раздвоение, образование вилки) употребляется, как и «катастрофа», для обозначения качественных перестроек различных систем

при изменении параметров. Обычный пример катастрофы, бифуркации представляет собой поведение какой-либо упругой конструкции, под воздействием увеличивающейся нагрузки внезапно, скачкообразно переходящей в другое положение (рис. 3), причем направление выгиба конструкции предсказать невозможно.

Рис. 3. Прогиб колонны при превышении критической нагрузки (Малинецкий, 1997)

Графически бифуркация изображена на рис. 4: система имеет одно решение, одно значение в каждой точке - до точки бифуркации, после чего появляется выбор между двумя возможными решениями.

Рис. 4. Графическое представление бифуркации (катастрофы)

В самых разнообразных системах при изменении значения «управляющей» переменной система уходит от равновесия, достигая порога устойчивости. Это критическое значение называется точкой бифуркации; в точке бифуркации у системы появляется «выбор», в котором неизбежно присутствует элемент случайности с невозможностью предсказать выбор траектории эволюции системы.. Последовательность бифуркаций во времени описывает морфологию поведения системы (рис. 5).

Рис. 5. Примеры последовательностей бифуркаций (Малинецкий, 1997)

Теория катастроф указывает некоторые общие черты явлений скачкообразного изменения режима разнообразных систем в ответ на плавное изменение внешних условий: сочетание случайности и необходимости, детерминизма и непредсказуемости, возможность выбора из нескольких решений вблизи точки бифуркации, неожиданно сильного отклика на слабое воздействие (и наоборот).

В 70-х годах теорию катастроф стали применять к широкому спектру явлений с дискретным, скачкообразным поведением, когда кажущаяся

Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания в системе с обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы. Случайные воздействия в момент перелома (в точке бифуркации) могут подтолкнуть систему на новый путь развития; после же выбора одного из возможных путей, траектории развития, действует однозначный детерминизм - развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации. Так случайность и необходимость дополняют друг друга.

В неравновесных условиях вблизи точки бифуркации система очень чувствительна к внешним воздействиям, и малое по силе внешнее воздействие, слабый сигнал может вызвать значительный отклик, неожиданный эффект. Внешние физические поля могут восприниматься системой, влияя на ее морфогенез. Так, при образовании ячеек Бенара (см. ниже) существенную роль начинает играть гравитация. Есть и биологические аналогии: роль гравитации в становлении дорсо-вентральной полярности при оплодотворении яйцеклетки амфибий, поляризация зиготы фукоидных водорослей под воздействием градиента освещенности.

Итак, в далеком от равновесия состоянии системы на первый план выступают нелинейные соотношения, слабое внешнее воздействие может порождать неожиданное, непредсказуемое поведение системы в целом. Иногда в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые флуктуации или внешние возмущения могут усиливаться до огромных, скачкообразным образом разрушающих всю прежнюю структуру системы и переводящих ее в иное состояние.

К теории катастроф по сути близка идея самоорганизованной критичности (П. Бак и К. Чен, 1991), согласно которой системы с большим числом

взаимодействующих элементов спонтанно эволюционируют к критическому состоянию, когда малое воздействие может привести к катастрофе. Сложные системы могут разрушиться не только от мощного удара, но и от малого события, запускающего цепную реакцию, каскад бифуркаций, разрушительный турбулентный режим. К сложным системам относятся многие природные (земная кора, экосистемы) и социальные системы; примеры природных катастроф – землетрясения, лавины, социальных – крушение империй, обвал рынков. Экспериментальная модель Бака и Чена (Bak, Chen) – конические кучи сухого песка. Падение единственной песчинки на песчаный конус, находящийся в критическом состоянии, может вызвать обвал, катастрофу. В критическом состоянии падение отдельных скатывающихся песчинок, фиксируемое в эксперименте как «шум мерцания», оказывается предвестником катастрофы; можно выявить подобные предвестники природных и социальных катастроф. Кучи песка, по словам авторов, это не просто экспериментальная модель, это новый взгляд на мир, метафора кооперативного поведения многих частиц, неустойчивого равновесия, непредсказуемости. Это холистическая концепция: глобальные характеристики и эволюцию системы нельзя понять, анализируя составляющие ее части.

Вхождение системы в непредсказуемый режим, переход к хаосу, описывается каскадом бифуркаций, следующих одна за другой (рис. 6). Каскад бифуркаций ведет последовательно к появлению выбора между двумя решениями, затем четырьмя и т.д.; система начинает колебаться в хаотическом, турбулентном режиме последовательного удвоения возможных значений.

Теория бифуркаций и катастроф неразрывно связана с современными представлениями о динамическом, или детерминированном, хаосе.

Рис. 6. Сценарий удвоения периода; на вставке показана выделенная часть (Пайтген, Рихтер, 1993)

Диссипативные структуры

Диссипативная структура - одно из основных понятий теории струк­тур И. Пригожина. Система в целом может быть неравновесной, но уже определенным образом несколько упорядоченной, организован­ной. Такие системы И. Пригожинназвал диссипативными структурами (от лат. dissipation - разгонять, рассеивать свободную энергию), в которых при значительных отклонениях от равновесия возникают упорядоченные состояния. В процессе образования этих структур энтропия возрастает, изменяются и другие термодинамические функции системы. Это свидетельствует о сохранении в целом ее хаотичности. Диссипация как процесс рассеяния энергии играет важную роль в об­разовании структур в открытых системах. В большинстве случаев дис­сипация реализуется в виде перехода избыточной энергии в тепло. Образование новых типов структур указывает па переход от хаоса и беспорядка к организации и порядку. Эти диссипативные динамические микроструктуры являются прообразами будущих состояний си­стемы, так называемых фракталов (от лат. fractus - дробный, изрезан­ный). Большинство фракталов либо разрушается, полностью так и не сформировавшись (если они оказываются невыгодными с точки зре­ния фундаментальных законов природы), либо иногда остаются как отдельные архаичные остатки прошлого (например, древние обычаи пародов, древние слова и т. д.). В точке бифуркации (точке ветвления) идет своеобразный естественный отбор фрактальных образований. «Выживает» образование, оказавшееся наиболее приспособленным к условиям окружающей среды.

При благоприятных условиях новая структура (фрактал)«разра­стается» и преобразуется постепенно в новую макроструктуру - аттрактор. При этом система переходит в новое качественное состояние. В этом новом состоянии система продолжает свое наступательное дви­жение до следующей точки бифуркации, то есть до следующего нерав­новесного фазового перехода.

В целом диссипация как процесс рассеивания энергии, затухания движения и информации играет весьма конструктивную роль в образовании новых структур в открытых системах. Для диссипативной системы невозможно предсказать конкретный путь развития, поскольку трудно предугадать начальные реальные условия ее состояния.

Открытая нелинейная самоорганизующаяся система всегда подверже­на колебаниям. Именно в колебаниях система развивается и движется к относительно устойчивым структурам. Этому способствует посто­янный обмен системы энергией и веществом с окружающей средой.

Аномальные изменения в среде могут вывести систему из состояния динамического равновесия, и она станет неравновесной. Например, усиливающийся приток энергии в систему вызывает флуктуации и де­лает ее неравновесной и нерегулируемой. Организация системы все более расшатывается, изменяются свойства системы.



Если параметры системы достигают определенных критических значений, то система переходит в состояние хаоса.

Состояние максимальной хаотичности неравновесного процесса называют точкой бифуркации. Точки бифуркации - это точки равно­весия как устойчивого, так и неустойчивого точки «выбора» дальней­шего пути развития системы.

Для синергетики важны неустойчивые состояния. Появление не­устойчивых состояний создает потенциальную возможность системе перейти в повое качественное состояние. Оно будет характеризовать­ся новыми параметрами системы и новым режимом ее функциониро­вания.

В состояниях выбора пути, то есть в точках бифуркаций большое значение имеют случайные флуктуации (колебания). От них зависит, по какому пути из множества возможных система будет выходить из состояния неустойчивости. Многие флуктуации рассеиваются, неко­торые не оказывают влияния на дальнейший путь развития системы как очень слабые. Но при определенных, пороговых условиях за счет случайных внешних воздействий эти флуктуации могут усиливаться и действовать в резонанс, подталкивая систему к выбору определенно­го пути развития (определенной траектории).

В точках бифуркации самоорганизующаяся система, стоя перед вы­бором путей развития, образует множество диссипативных динамиче­ских микроструктур, как бы «эмбрионов» будущих состояний систе­мы - фракталов. Набор таких состояний в точках бифуркаций перед выбором дальнейшего пути и образует детерминированный, или дина­мический, хаос. Однако большинство этих будущих прообразов систе­мы - фрактальных образований гибнет в конкурентной борьбе. В ре­зультате выживает та микроструктура, которая является наиболее приспособленной к внешним условиям. Весь этот процесс носит слу­чайный и неопределенный характер. Выжившая в конкурентной борь­бе фрактальных образований формирующаяся макроструктура полу­чила название аттрактора (см. выше). В результате этого система пере­ходит в новое качественно более высокое организационное состояние. Направление движения этого аттрактора начинает подчиняться необ­ходимости. Система теперь ведет себя как жестко детерминированная.

Таким образом, аттрактор представляет собой отрезок эволюционного пути от точки бифуркации до определенного финала (им может быть другая точка бифуркации). Обычные аттракторы характеризуются ус­тойчивостью динамической системы. Аттрактор как бы притягивает к себе подобно магниту множество различных траекторий системы, определяемых разными начальными значениями параметров. Здесь очень важную роль играют кооперативные, совместные процессы, ко­торые основываются на когерентном, то есть согласованном, взаимо­действии всех элементов зарождающейся устойчивой структуры.

Аттрактор можно сравнить с конусом или воронкой, которые своей широкой частью обращены к зоне ветвления, то есть к точке бифурка­ции, а узкой частью - к конечному результату, то есть к упорядочен­ной структуре. Если система попадает в сферу действия определенно­го аттрактора, то она эволюционирует именно к нему. Разными путя­ми эволюция выходит па одни и те же аттракторы. В результате этого формируются параметры порядка, то есть устойчивого динамического состояния. В этом состоянии система может находиться до тех пор, пока в силу каких-либо причин, а также случайных флуктуации она вновь не придет в неустойчивое положение. Эти причины связаны с дисгармонией, несоответствием внутреннего состояния открытой си­стемы внешним условиям окружающей ее среды. Вследствие этого си­стема теряет свою устойчивость, возвращаясь к хаотическому состоя­нию, и у нее вновь появляется множество новых путей развития. Для наглядности бифуркационный процесс эволюции системы можно пред­ставить в виде бифуркационного дерева (рис. 8.1).

По подобному принципу в виде эволюционного дерева можно пред­ставить развитие биологических видов или антропогенеза.

В точках бифуркации даже маленькое случайное изменение может привести к серьезному возмущению системы. Поэтому самоорганизу­ющимся системам нельзя грубо навязывать определенные пути разви­тия. Здесь необходимо исследовать и найти пути совместной жизни природы и человека, стараться глубоко познать природу их совмест­ной эволюции, коэволюции.

Основы теории бифуркаций были заложены в начале XX в. фран­цузским математиком А. Пуанкаре и русским математиком А. Ляпу­новым. В дальнейшем эта теория получила развитие в школе русского физика А. Андронова. Теория бифуркаций в настоящее время находит широкое применение в междисциплинарных науках, а также в физике, химии, биологии.

Рис. 1. Бифуркационный характер эволюиии системы (X, Z- параметры системы, f - время, А и В - точки бифуркации)

Эволюционное движение системы обязательно связано с необхо­димостью перестройки адаптивных механизмов па качественно новый, более высокий уровень. Если система благодаря внутренней перестрой­ке смогла (успела) адаптироваться к новым условиям, то она приобре­тает новое, организационно более высокое, устойчивое состояние; если нет, то она разрушается и гибнет. В адаптированном устойчивом положении система может находиться до следующей случайной флуктуации, после которой ситуация повторяется. По этой схеме идет эво­люционное развитие всех систем па всех структурных уровнях, хотя скорость этого процесса различна. Так, химическая эволюция Вселен­ной продолжается от времени Большого взрыва до наших дней - это около 20 млрд лет, эволюция живой материи - 3,7 млрд лет, эволюция человека - около 2 млн лет, а человеческого общества - порядка не­скольких десятков тысяч лет.

С точки зрения синергетической самоорганизации жизнь зароди­лась в диапазоне сложных систем. В этом случае следует считать жизнь совокупностью («сборкой») физико-химических элементов.

С позиций синергетики закономерным представляется и эволюция мира живого, которая по линии развития древесных млекопитающих привела к появлению человека как биологического вида, а также чело­веческого общества как социальной системы.

Эта публикация цитируется в (всего в 63 статьях)

Теория бифуркаций

Аннотация: Теория бифуркаций фазовых портретов дифференциальных уравнений вблизи положений равновесия и предельных циклов изложена в первых двух главах, Изложение начинается с основных понятий и фактов и заканчивается новыми результатами о бифуркациях в типичных однопараметрических семействах, происходящие на границе множества систем Морса-Смейла. Релаксационные колебания изучены с точки зрения теории особенностей и теории нормальных форм; включены результаты о затягивании потери устойчивости и решениях-утках.
Библ. 206.

Полный текст: PDF файл (31704 kB)

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.925 +517.928

Образец цитирования: В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, “Теория бифуркаций”, Динамические системы - 5 , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5 , ВИНИТИ, М., 1986, 5-218

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ArnAfrIly86}
\by В.~И.~Арнольд, В.~С.~Афраймович, Ю.~С.~Ильяшенко, Л.~П.~Шильников
\paper Теория бифуркаций
\inbook Динамические системы~--~5
\serial Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления
\yr 1986
\vol 5
\pages 5--218
\publ ВИНИТИ
\publaddr М.
\mathnet{http://mi.сайт/intf40}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0797.58003}

Образцы ссылок на эту страницу:

  • http://mi.сайт/intf40
  • http://mi.сайт/rus/intf/v5/p5
    ОТПРАВИТЬ:

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

    1. Г. Р. Белицкий, “Гладкая эквивалентность ростков векторных полей с одним нулевым или парой чисто мнимых собственных значений”, Функц. анализ и его прил. , 20 :4 (1986), 1-8 ; G. R. Belitskii, “Smooth equivalence of germs of vector fields with a single zero eigenvalue or a pair of purely imaginary eigenvalues”, Funct. Anal. Appl. , 20 :4 (1986), 253-259
    2. М. А. Шерешевский, “О хаусдорфовой размерности фрактальных базисных множеств, возникающих при некоторых глобальных бифуркациях потоков на трехмерных многообразиях”, УМН , 43 :3(261) (1988), 199-200 ; M. A. Shereshevskii, “On the Hausdorff dimension of fractal basis sets arising in certain global bifurcations of flows on three-dimensional manifolds”, Russian Math. Surveys , 43 :3 (1988), 223-224
    3. А. В. Бабин, М. И. Вишик, “Спектральное и стабилизированное асимптотиче­ское поведение решений нелинейных эволюционных уравнений”, УМН , 43 :5(263) (1988), 99-132 ; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Spectral and stabilized asymptotic behaviour of solutions of non-linear evolution equations”, Russian Math. Surveys , 43 :5 (1988), 121-164
    4. Б. А. Хесин, “Версальные деформации пересечений инвариантных подмногообразий динамических систем”, УМН , 44 :3(267) (1989), 181-182 ; B. A. Khesin, “Versal deformations of intersections of invariant submanifolds of dynamical systems”, Russian Math. Surveys , 44 :3 (1989), 201-203
    5. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей.”, УМН , 46 :1(277) (1991), 3-39 ; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, “Finitely-smooth normal forms of local families of diffeomorphisms and vector fields”, Russian Math. Surveys , 46 :1 (1991), 1-43
    6. И. Д. Чуешов, “Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики”, УМН , 48 :3(291) (1993), 135-162 ; I. D. Chueshov, “Global attractors for non-linear problems of mathematical physics”, Russian Math. Surveys , 48 :3 (1993), 133-161
    7. Е. В. Николаев, “Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию”, Матем. сб. , 186 :4 (1995), 143-160 ; E. V. Nikolaev, “Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting an involutive symmetry”, Sb. Math. , 186 :4 (1995), 611-627
    8. С. В. Гонченко, “Модули $\Omega$ -сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром”, Матем. сб. , 187 :9 (1996), 3-24 ; S. V. Gonchenko, “Moduli of $\Omega$ -conjugacy of two-dimensional diffeomorphisms with a structurally unstable heteroclinic contour”, Sb. Math. , 187 :9 (1996), 1261-1281
    9. Д. В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к шестидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 52 :5(317) (1997), 235-255 ; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 60th birthday)”, Russian Math. Surveys , 52 :5 (1997), 1117-1139
    10. С. А. Вакуленко, П. В. Гордон, “Распространение и рассеяние кинков в неоднородной нелинейной среде”, ТМФ , 112 :3 (1997), 384-394 ; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Propagation and scattering of kinks in inhomogeneous nonlinear media”, Theoret. and Math. Phys. , 112 :3 (1997), 1104-1112
    11. Е. А. Сатаев, “Производная Шварца для многомерных отображений и потоков”, Матем. сб. , 190 :1 (1999), 139-160 ; E. A. Sataev, “Schwartzian derivative for multidimensional maps and flows”, Sb. Math. , 190 :1 (1999), 143-164
    12. Э. Э. Шноль, Е. В. Николаев, “О бифуркациях симметричных положений равновесия, отвечающих двукратным собственным значениям”, Матем. сб. , 190 :9 (1999), 127-150 ; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, “On the bifurcations of equilibria corresponding to double eigenvalues”, Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
    13. Ю. Н. Бибиков, “Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний”, Матем. заметки , 65 :3 (1999), 323-335 ; Yu. N. Bibikov, “Stability and bifurcation under periodic perturbations of the equilibrium position of an oscillator with an infinitely large or infinitely small oscillation frequency”, Math. Notes , 65 :3 (1999), 269-279
    14. Э. Э. Шноль, “Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений”, Матем. сб. , 191 :8 (2000), 141-157 ; È. È. Shnol", “Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
    15. С. В. Богатырев, “Циклы-утки в системе Льенарда”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 12 , СамГТУ, Самара, 2001, 36-39
    16. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенных систем с одной или двумя медленными и быстрыми переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :4 (2002), 55-62
    17. Е. П. Волокитин, С. А. Тресков, “Бифуркационная диаграмма кубической системы льенаровского типа”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 67-75
    18. Е. А. Щепакина, “Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 162-169
    19. М. Д. Новиков, Б. М. Павлов, “О некоторых простых потоковых системах с хаотическими режимами”, Матем. моделирование , 14 :11 (2002), 63-77
    20. Е. А. Щепакина, “Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения”, Матем. моделирование , 14 :3 (2002), 30-42
    21. О. Д. Аносова, “Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах”, , Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2002, 27-32 ; O. D. Anosova, “Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
    22. Е. А. Щепакина, “Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 142-157
    23. Е. А. Щепакина, “Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения”, Матем. моделирование , 15 :8 (2003), 113-117
    24. Л. И. Кононенко, “Инфинитезимальный анализ сингулярных систем с быстрыми и медленными переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 51-59
    25. Л. Г. Куракин, В. И. Юдович, “О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы”, Сиб. матем. журн. , 45 :2 (2004), 356-374 ; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “On equilibrium bifurcations in the cosymmetry collapse of a dynamical system”, Siberian Math. J. , 45 :2 (2004), 294-310
    26. С. В. Гонченко, В. С. Гонченко, “О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”, Динамические системы и смежные вопросы геометрии , Сборник статей. Посвящается памяти академика Андрея Андреевича Болибруха, Тр. МИАН, 244 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2004, 87-114 ; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “On Bifurcations of Birth of Closed Invariant Curves in the Case of Two-Dimensional Diffeomorphisms with Homoclinic Tangencies”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
    27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards at folded nodes”, Mosc. Math. J. , 5 :1 (2005), 91-103
    28. Э. Л. Аэро, С. А. Вакуленко, “Асимптотическое поведение решений для сильно нелинейной модели кристаллической решетки”, ТМФ , 143 :3 (2005), 357-367 ; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Asymptotic Behavior of Solutions of a Strongly Nonlinear Model of a Crystal Lattice”, Theoret. and Math. Phys. , 143 :3 (2005), 782-791
    29. А. Р. Борисюк, “Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай”, Матем. сб. , 196 :4 (2005), 3-22 ; A. R. Borisyuk, “Global bifurcations on a Klein bottle. The general case”, Sb. Math. , 196 :4 (2005), 465-483
    30. Е. П. Белан, “О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной”, Журн. матем. физ., анал., геом. , 1 :1 (2005), 3-34
    31. Т. С. Фирсова, “Топология аналитических слоений в $\mathbb C^2$ . Свойство Купки-Смейла”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения , Сборник статей, Тр. МИАН, 254 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 162-180 ; T. S. Firsova, “Topology of Analytic Foliations in $\mathbb C^2$ . The Kupka-Smale Property”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
    32. А. О. Ремизов, “Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений”, Оптимальное управление , СМФН, 19 , РУДН, М., 2006, 131-170 ; A. O. Remizov, “Many-Dimensional Poincaré Construction and Singularities of Lifted Fields For Implicit Differential Equations”, Journal of Mathematical Sciences , 151 :6 (2008), 3561-3602
    33. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенной системы в $\mathbb R^3$ ”, Сиб. журн. индустр. матем. , 10 :4 (2007), 76-82 ; L. I. Kononenko, “Qualitative analysis of a singularly perturbed system in $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Industr. Math. , 3 :4 (2009), 456-461
    34. Ю. А. Гришина, А. А. Давыдов, “Структурная устойчивость простейших динамических неравенств”, Динамические системы и оптимизация , Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2007, 89-101 ; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Structural Stability of Simplest Dynamical Inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
    35. Ф. И. Атауллаханов, Е. С. Лобанова, О. Л. Морозова, Э. Э. Шноль, Е. А. Ермакова, А. А. Бутылин, А. Н. Заикин, “Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови”, УФН , 177 :1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, È. È. Shnol", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Intricate regimes of propagation of an excitation and self-organization in the blood clotting model”, Phys. Usp. , 50 :1 (2007), 79-94
    36. П. Д. Лебедев, “Вычисление меры невыпуклости плоских множеств”, Тр. ИММ УрО РАН, 13 , № 3, 2007, 84-94
    37. “Владимир Игоревич Арнольд (к семидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 62 :5(377) (2007), 175-184 ; “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 70th birthday)”, Russian Math. Surveys , 62 :5 (2007), 1021-1030
    38. Ю. М. Апонин, Е. А. Апонина, “Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования (обзор)”, Матем. биология и биоинформ. , 2 :2 (2007), 347-360
    39. Е. С. Голодова, Е. А. Щепакина, “Моделирование безопасных процессов горения с максимальной температурой”, Матем. моделирование , 20 :5 (2008), 55-68 ; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Modelling of safe combustion with maximal temperature”, Math. Models Comput. Simul. , 1 :2 (2009), 322-334
    40. В. М. Закалюкин, А. О. Ремизов, “Лежандровы особенности в системах неявных обыкновенных дифференциальных уравнений и быстро-медленных динамических системах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 140-153 ; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Legendre Singularities in Systems of Implicit ODEs and Slow-Fast Dynamical Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
    41. Н. Е. Кулагин, Л. М. Лерман, Т. Г. Шмакова, “О радиальных решениях уравнения Свифта-Хоенберга”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 188-209 ; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, “On Radial Solutions of the Swift-Hohenberg Equation”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
    42. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Геометрия и асимптотика волновых фронтов”, Изв. вузов. Матем. , 2008, № 3, 27-37 ; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Geometry and the asymptotics of wave forms”, Russian Math. (Iz. VUZ) , 52 :3 (2008), 24-33
    43. Л. И. Кононенко, “Релаксации в сингулярно возмущенных системах на плоскости”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. , 9 :4 (2009), 45-50
    44. Д. В. Аносов, “О математических работах Л. С. Понтрягина”, Дифференциальные уравнения и топология. I , Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 11-23 ; D. V. Anosov, “On the mathematical work of L. S. Pontryagin”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16


    • ➤