Аннотация

Пояснительная записка курсовой работы "Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона" содержит в себе введение, анализ задания описанием входных и выходных данных, обзор литературных источников, описание математической модели и методов вычислительной математики, пояснения к алгоритму, текст программы, инструкцию. При изучении дисциплины "Информатика" для написания курсовой работы использовались различные литературные источники, которые перечислены в настоящем документе. В данной курсовой работе приведена программа, которая применяется для интерполяции таблично заданной функции методом Ньютона. В ней был использован метод структурного программирования для облегчения написания и отладки программы, а также повышения ее наглядности и читаемости. Целью написания данной работы было получение и закрепление практических навыков разработки алгоритмов различными методами. Представленная программа реализована на языке программирования Pascal. Пояснительная записка содержит 25 листов, на которых размещено два рисунка, текст программы и описание программы и алгоритма.

Введение

Анализ задания

Математическая модель задачи

Программирование функции формулы Ньютона

Обзор литературных источников

Разработка программы по схеме алгоритма

Инструкция пользования программой

Текст программы

Исходные данные и результат решения контрольного примера

Заключение

Список использованных источников

Введение

Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных -таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются.

В связи с этим современный специалист с высшим образованием должен обладать не только высоким уровнем подготовки по профилю своей специальности, но и хорошо знать математические методы решения инженерных задач, ориентироваться на использование вычислительной техники, практически освоить принципы работы на ЭВМ.

Анализ задания

В качестве входных данных использованы:

1. Количество узлов.

2. Табличные значения функции.

Выходными данными, т.е. результатом программы является:

1. Значения таблично заданной функции в промежуточных значениях.

2. График полинома.

Математическая модель задачи

При выполнении курсовой работы была выбрана следующая математическая модель:

Интерполяция и приближение функций.

1. Постановка задачи.

Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Часто требуется восстановить функцию

для всех значений на отрезке если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений (измерений) в каком-то натурном эксперименте, либо в результате вычислений. Кроме того, может оказаться, что функция задается формулой и вычисления ее значений по этой формуле очень трудоемки, поэтому желательно иметь для функции более простую (менее трудоемкую для вычислении) формулу, которая позволяла бы находить приближенное значение рассматриваемой функции с требуемой точностью в любой точке отрезка. В результате возникает следующая математическая задача.

Пусть и» отрезке

задана сетка со

и в ее узлах заданы значения функции

, равные .

Требуется построить интерполянту - функцию

, совпадающую с функцией в узлах сетки: .

Основная цель интерполяции - получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений

для значений , не содержащихся в таблице данных.

2. Интерполяция по Ньютону

Дана табличная функция:

i
0
1
2
..	..	..
n

, (1)

Точки с координатами

называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например,

, причем . Для решения задачи используется интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

где n – степень многочлена,

Интерполяционная формула Ньютона формула позволяет выразить интерполяционный многочлен

через значение в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам .

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях.

Пусть в узлах

,

известны значения функции

. Предположим, что среди точек , , нет совпадающих. Разделенными разностями первого порядка называются отношения , , .

Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, т. е. выражения

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется .

Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции

для равноотстоящих значений аргумента, где - шаг интерполяции. Построим полином следующего вида:

или, используя обобщённую степень, получаем:

Тогда, при выполнении равенства, получим

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

Введём более удобную запись формулы (2). Пусть, тогда

Подставив эти значения в формулу (2), получим:

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона . Для приближённого вычисления значений функции полагают:

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции для значений аргументов, лежащих вне пределов таблицы.

Если и близко к, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда. Если же и близко к, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причём.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад , а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, - для интерполирования назад и экстраполирования вперёд .

Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.

Пример. Приняв шаг, построить интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной таблицей

Решение . Составляем таблицу разностей (таблица 1). Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем. Приняв, будем иметь:

Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.

Таблица 1

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:

P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6.3.3-8)

где а i , i = 0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для определения коэффициентов а i будем в (6.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x n P n (x n) = y n , следовательно, a 0 = y n .

При х = x n -1 имеем P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), откуда

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (6.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Введя обозначение:

и, подставив х в (6.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей 6.3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х 3 =1.8, х 2 =1.6 и х 1 =1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

· для первой формулы Ньютона:

(6.3.3-11)

· для второй формулы Ньютона:

(6.3.3-12)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.

На практике, если интерполируемая функция y = f(x) задана таблично , полагая, что D n +1 = const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:

(6.3.3-13)

Пример 6.3.3-1. Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Практическая погрешность оценивается соотношением:

e 1 = |Р 2 (х) - Р 1 (х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х n = 1.3; х n -1 = 1.2; х n -2 = 1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид:

x	y	Dy	D 2 y
1.1 1.2 1.3	0.095310 0.182322 0.262364	0.087012 0.080042	-0.006970

Тогда:

6.3.4. Сплайн – интерполяция

В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов . Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.

Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).

Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = S(x) таким образом, чтобыf(x i) = S(x i) в точках x = x i , a в остальных точках отрезка значения функций f(x) и S(x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования показали, что гибкая тонкая линейка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой.

Таким образом, сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями y i , в узлах х i,
(i = 0, 1,...,n). Обозначим длину частичного отрезка как h i =x i -x i-1 ,
(i = 1, 2,...,n). Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [х i-1 ;х i ] в виде:

где - четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем совпадения значений S(x)в узлах с табличными значениями функции f(x):

(6.3.4-2)

Число этих уравнений (2n) в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) во внутреннем узле x i .

Вычислим выражения для производных S"(x), S"(x)последовательным дифференцированием (6.3.4-1):

S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2 , (6.3.4-4)

S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)

найдем правые и левые производные в узле:

S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i ,

S"(x i +0) = b i+1 , где i = 1,2,..., n -1.

Аналогично поступаем для второй производной:

S"(x–0) = 2c i +6d i h i ,

S"(х+0) = 2с i+1 .

Приравняв левые и правые производные, получаем:

b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)

с i+1 = с i - + 3d i h i , где i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)

Уравнения (6.3.4-6), (6.3.4-7) дают еще 2(n–1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. е. равенство нулю второй производной), то получим:

с i =0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)

Исключив из уравнений (6.3.4-2) – (6.3.4-3) nнеизвестных a i , получаем систе­му уравнений:

(6.3.4-9)

где i=0, 1,...., n - 1.

Система (6.3.4-9) состоит из 3(n-1)уравнений. Решив систему (6.3.4-9), получаем значения неизвестных b i , c i , d i ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна:

где i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)

Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, доста­точно громоздка, поэтому ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью сплайнов, используя функции пакетов п.п. 6.3.6.

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с вычислениями. Укажем некоторые из этих задач. Обработка физического эксперимента – построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений, на основе интегральных тождеств.
Часто требуется восстановить функцию f(x) на отрезке a ≤ x ≤ b , если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка.

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрим более подробно метод Ньютона.

В таблице 1 приведены данные временной сложности алгоритмов.

Таблица 1

Входные данные:
x — координата, в которой необходимо вычислить.
n – Количество узлов.
Step – шаг интерполяции
Множество MasX – Значения x .
Множество MasY – Значения f(x) .

Выходные данные:
res – значение полинома в точке x .

Алгоритмическая модель метода Ньютона:
Множество mas мощностью |n + 2, n + 1|; Для всех i от 0..2: Для всех j от 0..n+1: Если i = 0: masi,j = MasXj; иначе Если i = 1: masi,j = MasYj; m = n; Для всех i от 2..n+2: Для всех j от 0..m: masi,j = mas(i-1),(j+1) – mas(i–1),j; m = m-1; Множество dy0 мощностью |n + 1|; Для всех i от 0..n+1: dy0i = mas(i + 1),0; res = dy00; Множество xn мощностью |n|; xn0 = x - mas0,0; Для всех i от 1..n: ans = xni - 1 * (x - mas0, i); xni = ans; ans = 0; m1 = n + 1; fact = 1; Для всех i от 1..m1: fact = fact * i; res = res + (dy0i * xni - 1) / (fact * stepi);

На рисунке 1 изображена схема интерполяции метода Ньютона.


Рисунок 1 — интерполяция метода Ньютона

// x - координата, в которой необходимо вычислить значение полинома Ньютона; n - количество узлов; MasX - массив x; MasY - массив значений x; step - шаг public double Newton(double x, int n, double MasX, double MasY, double step) { double[,] mas = new double; for (int i = 0; i < 2; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { if (i == 0) mas = MasX[j]; else if (i == 1) mas = MasY[j]; } } int m = n; for (int i = 2; i < n + 2; i++) { for (int j = 0; j < m; j++) { mas = mas - mas; } m--; } double dy0 = new double; for (int i = 0; i < n + 1; i++) { dy0[i] = mas; } double res = dy0; double xn = new double[n]; xn = x - mas; for (int i = 1; i < n; i++) { double ans = xn * (x - mas); xn[i] = ans; ans = 0; } int m1 = n + 1; int fact = 1; for (int i = 1; i < m1; i++) { fact = fact * i; res = res + (dy0[i] * xn) / (fact * Math.Pow(step, i)); } return res; }

Составим таблицу значений для f(x) = x^3.

Найдем полимер в точке 2.1: f(2.1) = 2.1^3=9,261

С помощью программной функции мы получили такой же результат (Рисунок 2).


Рисунок 2 — применение функции

Нами были рассмотрены основные метода интерполяции многочленами. На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано, прежде всего, с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций. Мы рассмотрели более подробно метод Ньютона.

Мы построили математическое описание методов, после чего приступили к разработке схемы программы.

Разработали программу реализующую интерполяцию метода Ньютона, на языке C# в Visual Studio 2012.

Протестировали программу, все тесты на основе заданных нами данных были успешно пройдены.

Довольно распространенным методом интерполирования является метод Ньютона. Интерполяционный полином для этого метода имеет вид:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Задача состоит в отыскании коэффициентов a i полинома P n (x). Коэффициенты находят из уравнения:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

позволяющего записать систему:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1 ;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0)(x 2 - x 1) = y 2 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n ;

Используем метод конечных разностей. Если узлы x i заданы через равные промежутки h, т.е.

x i+1 - x i = h,

то в общем случае x i = x 0 + i×h, где i = 1, 2, ..., n. Последнее выражение позволяет привести решаемое уравнение к виду

y 1 = a 0 + a 1 ×h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

откуда для коэффициентов получаем

где Dу 0 – первая конечная разность.

Продолжая вычисления, получим:

где D 2 у 0 - вторая конечная разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент а i можно представить в виде:

Поставляя найденные значения коэффициентов а i в значения для P n (x), получим интерполяционный полином Ньютона:

Преобразуем формулу, для чего введем новую переменную , где q – число шагов, необходимых для достижения точки х, двигаясь из точки х 0 . После преобразований получаем:

Полученная формула известна как первая интерполяционная формула Ньютона, или формула Ньютона для интерполирования "вперед". Ее выгодно использовать для интерполирования функции y = f(x) в окрестности начального значения х – х 0 , где q мало по абсолютной величине.

Если записать интерполяционный многочлен в виде:

то аналогичным образом можно получить вторую интерполяционную формулу Ньютона, или формулу Ньютона для интерполирования "назад":

Ее обычно используют для интерполирования функции вблизи конца таблицы.

При изучении данной темы необходимо помнить, что интерполяционные многочлены совпадают с заданной функцией f(x) в узлах интерполяции, а в остальных точках, в общем случае, будут отличаться. Указанная ошибка дает нам погрешность метода. Погрешность метода интерполяции определяется остаточным членом, который для формул Лагранжа и Ньютона одинаков и который позволяет получить следующую оценку для абсолютной погрешности:

Если интерполирование осуществляется с одинаковым шагом, то формула для остаточного члена видоизменяется. В частности, при интерполировании "вперед" и "назад" по формуле Ньютона выражение для R(x) несколько отличаются друг от друга.

Анализируя полученную формулу, видно, что погрешность R(x) представляет собой, с точностью до постоянной произведение двух множителей, из которых один, f (n+1) (x), где x лежит внутри , зависит от свойств функции f(x) и не поддается регулированию, а величина другого,

определяется исключительно выбором узлов интерполирования.

При неудачном расположении этих узлов верхняя граница модуля |R(x)| может быть весьма большой. Поэтому возникает задача о наиболее рациональном выборе узлов интерполирования x i (при заданном числе узлов n) с тем, чтобы полином П n+1 (х) имел наименьшее значение.