Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры. Обратные тригонометрические функции и их графики Вычисление значений обратных тригонометрических функций примеры решений
Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .
К ним обычно относят 6 функций:
- арксинус (обозначение: arcsin x ; arcsin x — это угол, sin которого равен x ),
- арккосинус (обозначение: arccos x ; arccos x — это угол, косинус которого равняется x и так далее),
- арктангенс (обозначение: arctg x или arctan x ),
- арккотангенс (обозначение: arcctg x или arccot x или arccotan x ),
- арксеканс (обозначение: arcsec x ),
- арккосеканс (обозначение: arccosec x или arccsc x ).
Арксинус (y = arcsin x ) - обратная функция к sin (x = sin y . Другими словами возвращает угол по значению его sin .
Арккосинус (y = arccos x ) - обратная функция к cos (x = cos y cos .
Арктангенс (y = arctg x ) - обратная функция к tg (x = tg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg .
Арккотангенс (y = arcctg x ) - обратная функция к ctg (x = ctg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg .
arcsec - арксеканс, возвращает угол по значению его секанса.
arccosec - арккосеканс, возвращает угол по значению его косеканса.
Когда обратная тригонометрическая функция не определяется в указанной точке, значит, ее значение не появится в итоговой таблице. Функции arcsec и arccosec не определяются на отрезке (-1,1), а arcsin и arccos определяются только на отрезке [-1,1].
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции прибавлением приставки «арк-» (от лат. arc us — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции связывают с длиной дуги единичной окружности (либо углом, который стягивает эту дугу), которая соответствует тому либо другому отрезку.
Иногда в зарубежной литературе, как и в научных/инженерных калькуляторах , используют обозначениями вроде sin −1 , cos −1 для арксинуса, арккосинуса и тому подобное, — это считается не полностью точным, т.к. вероятна путаница с возведением функции в степень −1 (« −1 » (минус первая степень) определяет функцию x = f -1 (y) , обратную функции y = f (x) ).
Основные соотношения обратных тригонометрических функций.
Здесь важно обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.
Обозначим любое из значений обратных тригонометрических функций через Arcsin x , Arccos x , Arctan x , Arccot x и сохраним обозначения: arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x для их главных значений, тогда связь меж ними выражается такими соотношениями.
Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции
09.07.2015 8495 0Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
1. Обратные тригонометрические функции
Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
Пример 1
Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.
а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .
б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом
Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.
Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.
Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.
Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.
Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.
Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.
Пример 2
Найдем:
Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
Пример 3
Вычислим
Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,
Свойства функции | Функция |
|||
у = arcsin х | у = arccos х | у = arctg х | у = arcctg х |
|
Область определения | х ∈ [-1; 1] | х ∈ [-1; 1] | х ∈ (-∞; +∞) | х ∈ (-∞ +∞) |
Область значений | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Четность | Нечетная | Ни четная, ни нечетная | Нечетная | Ни четная, ни нечетная |
Нули функции (y = 0) | При х = 0 | При х = 1 | При х = 0 | у ≠ 0 |
Промежутки знакопостоянства | у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0) | у > 0 при х ∈ [-1; 1) | у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0) | у > 0 при x ∈ (-∞; +∞) |
Монотонность | Возрастает | Убывает | Возрастает | Убывает |
Связь с тригонометрической функцией | sin у = х | cos у = х | tg у = х | ctg у = х |
График |
Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
Пример 4
Найдем область определения функции
Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции
Пример 5
Найдем область изменения функции
Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).
Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения
Пример 6
Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.
Пример 7
Выразим через все обратные тригонометрические функции
Пусть Очевидно, что Тогда Так как
Введем угол Так как то
Аналогично поэтому и
Итак,
Пример 8
Построим график функции у = cos (arcsin х).
Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.
Пример 9
Построим график функции у = arccos (cos x ).
Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.
Отметим некоторые полезные равенства:
Пример 10
Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и
Пример 11
Решим уравнение
Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:
2. Решение простейших тригонометрических уравнений
Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение | Решение |
tgx = а | |
ctg х = а |
Пример 12
Решим уравнение
Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим
Пример 13
Решим уравнение
По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем
Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
для уравнения sin х = 1 решения
для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;
для уравнения sin х = -1 решения
для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;
для уравнения cos х = 0 решения
для уравнения cos х = -1 решения
Пример 14
Решим уравнение
Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем
III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.
2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.
3. Решение простейших тригонометрических уравнений.
IV. Задание на уроках
§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
V. Задание на дом
§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
VI. Творческие задания
1. Найдите область определения функции:
Ответы :
2. Найдите область значений функции:
Ответы:
3. Постройте график функции:
VII. Подведение итогов уроков
К обратным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс , арксеканс и арккосеканс .
Поскольку исходные тригонометрические функции периодические, то обратные функции, вообще говоря, являются многозначными . Чтобы обеспечить однозначное соответствие между двумя переменными, области определения исходных тригонометрических функций ограничивают, рассматривая лишь их главные ветви . Например, функция \(y = \sin x\) рассматривается лишь в промежутке \(x \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\). На этом интервале обратная функция арксинус определена однозначно.
Функция арксинус
Арксинусом числа \(a\) (обозначается \(\arcsin a\)) называется значение угла \(x\) в интервале
\(\left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\), при котором
\(\sin x = a\). Обратная функция \(y = \arcsin x\) определена при \(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений равна
\(y \in \left[ { - \pi /2,\pi /2} \right]\).
Функция арккосинус
Арккосинусом числа \(a\) (обозначается \(\arccos a\)) называется значение угла \(x\) в интервале \(\left[ {0,\pi} \right]\),
при котором \(\cos x = a\). Обратная функция \(y = \arccos x\) определена при
\(x \in \left[ { -1,1} \right]\), область ее значений принадлежит отрезку
\(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).
Функция арктангенс
Арктангенсом числа a
(обозначается \(\arctan a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале
\(\left({-\pi/2, \pi/2} \right)\), при котором \(\tan x = a\).
Обратная функция \(y = \arctan x\) определена при всех \(x \in \mathbb{R}\), область значений арктангенса равна
\(y \in \left({-\pi/2, \pi/2} \right)\).
Функция арккотангенс
Арккотангенсом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccot } a\)) называется значение угла \(x\) в открытом интервале
\(\left[ {0,\pi} \right]\), при котором
\(\cot x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccot } x\) определена при всех
\(x \in \mathbb{R}\), область ее значений находится в интервале
\(y \in \left[ {0,\pi} \right]\).
Функция арксеканс
Арксекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arcsec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором
\(\sec x = a\). Обратная функция \(y = \text{arcsec } x\) определена при
\(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений
принадлежит множеству
\(y \in \left[ {0,\pi /2} \right) \cup \left({\pi /2,\pi } \right]\).
Функция арккосеканс
Арккосекансом числа \(a\) (обозначается \(\text{arccsc } a\) или \(\text{arccosec } a\)) называется значение угла \(x\), при котором
\(\csc x = a\). Обратная функция \(y = \text{arccsc } x\) определена при
\(x \in \left({ - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right)\), область ее значений
принадлежит множеству \(y \in \left[ { - \pi /2,0} \right) \cup \left({0,\pi /2} \right]\).
Главные значения функций арксинус и арккосинус (в градусах)
\(x\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/2\) | \(-\sqrt 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\sqrt 2/2\) | \(\sqrt 3/2\) | \(1\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arcsin x\) | \(-90^\circ\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
\(\arccos x\) | \(180^\circ\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) | \(0^\circ\) |
Главные значения функций арктангенс и арккотангенс (в градусах)
\(x\) | \(-\sqrt 3\) | \(-1\) | \(-\sqrt 3/3\) | \(0\) | \(\sqrt 3/3\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\arctan x\) | \(-60^\circ\) | \(-45^\circ\) | \(-30^\circ\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
\(\text{arccot } x\) | \(150^\circ\) | \(135^\circ\) | \(120^\circ\) | \(90^\circ\) | \(60^\circ\) | \(45^\circ\) | \(30^\circ\) |
Функция, обратная косинусу
Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.
Рис. 2
Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x .
Определение
Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.
Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ?р.
Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи.
Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .
Рис. 3
Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р-arccos x.
В самом деле, по определению 0 ? arcсos х? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - р? arcсos х? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? р-arccos х? р.
Таким образом, значения углов arccos(-х) и р - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.
Функция, обратная синусу
Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-р/2;р/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- р/2; р/2] определена функция, обратная функции y=sin x.
Рис. 6
Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а .
Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-р/2; р/2]; его обозначают arcsin а.
Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -р/2 ? arcsin а? р/2. Например, так как sin и [- р/2; р/2]; arcsin , так как sin = и [- р/2; р/2].
Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-р/2;р/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -р/2 до р/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-р/2; р/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = р/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -р/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 .
Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].
Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].
Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.
Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].
Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. .
Рис. 7
Рис. 8
График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)
Функция, обратная тангенсу
Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x .
Арктангенсом числа а называют угол из промежутка, тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.
Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) .
Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.
Рис. 9
График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).
Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.
Функция, обратная котангенсу
Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x .
Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.
Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.
Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.
График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.
График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.
Рис. 11
Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.