Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких аргументов. Производная параметрически заданной функции
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).
Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.
Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные
f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],
f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим:
.
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:
.
2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам
. |
Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:
.
Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .
Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.
1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .
Применив формулы (2), получим:
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:
2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0
Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:
.
Сравнивая с формулой , видим, что
.
3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений
определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан
,
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений
|
Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у ; найти .
Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:
.
Аналогичным образом найдем:
.
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.
Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:
4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и
,
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .
Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).
Найти и .
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
Из первых двух уравнений определим du и dv :
.
Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :
.
2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :
Из первой системы найдем: .
Из второй системы найдем: .
Подставляя выражения и в формулу (5), получим:
Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.
1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.
,
полагая .
у по х через производные от у по t . Имеем:
,
.
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:
Пример. Преобразовать уравнение
,
приняв за аргумент у , а за функцию х.
Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.
.
Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:
,
или, окончательно,
.
Пример . Преобразовать уравнение
перейдя к полярным координатам
x=r cos φ, y=r cos φ. |
Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:
dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:
F(x,y) =0.
Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая
Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:
1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0
2) F’y(x˳,y˳)≠ 0
3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки
P 0 (x 0 ,y 0).
Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0
Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:
Если в этом соотношении , то можно найти .
Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:
Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.
Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.
Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I
Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.
Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .
Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .
Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.
Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.
Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.
Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).
При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.
Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).
Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(yсчитаем постоянным)
F(x,y,
f (х, у)) =
=0
(xсчитаем постоянным)
Откуда
и
Пример
: Найти частные производные
функцииZзаданной
уравнением
.
Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
.
По формулам приведенным выше имеем:
и
Производная по направлению
Пусть функция двух переменных Z= f(x;
у) задана в некоторой окрестности т. М
(x,y).
Рассмотрим некоторое направление,
определяемое единичным вектором
,
где
(см. рис.).
На прямой, проходящей по этому направлению
через т. М возьмем т. М 1 (
)
так, что длина
отрезкаMM 1 равна
.
Приращение функцииf(M)
определяется соотношением,
где
связаны соотношениями.
Предел отношенияпри
будет называться производной функции
в точке
по направлениюи обозначаться.
=
Если функция Zдифференцируема
в точке
,
то ее приращение в этой точке с учетом
соотношений для
может быть записано в следующей форме.
поделив обе части на
и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции
Z= f(х; у) по направлению:
Градиент
Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.
Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты
которого равны соответственно частным
производным
в этой точке. Для обозначения градиента
используют символ
.
=
.
.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.
Поскольку единичный вектор
имеет координаты (
),
то производная по направлению для случая
функции трех переменных записывается
в виде,
т.е.имеет формулу скалярного произведения
векторови
.
Перепишем последнюю формулу в следующем
виде:
,
где- угол между вектороми
.
Поскольку
,
то отсюда следует, что производная
функции по направлению принимаетmaxзначение при=0,
т.е. когда направление векторови
совпадают. При этом
.Т.е.,
на самом деле градиент функции
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в точке.
Экстремум функции двух переменных
Понятия max,min,
экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям
функции одной переменной. Пусть функция
Z= f(x; у) определена в
некоторой областиDи т.
М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если
существует такая δ-окрестность точки
,
что для каждой точки из этой окрестности
выполняется неравенство
.
Аналогичным образом определяется и
точкаmin, только знак
неравенства при этом изменится
.
Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом
(минимумом). Максимум и минимум функции
называются экстремумами.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема:
(Необходимые условия
экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x;
у) имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю:
,
.
Доказательство:
зафиксировав одну
из переменныхxилиy,
ревратим Z= f(x; у) в функцию
одной переменной, для экстремума которой
вышеописанные условия должны выполняться.
Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции
Z= f(x; у), касательная
плоскость к поверхности, изображающую
функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY,
т.к. уравнение касательной плоскости
естьZ=Z 0.
Точка, в которой частные производные
первого порядка функции Z= f(x;
у) равны нулю, т.е.
,
,
называются стационарной точкой функции.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. НапримерZ=|-
|
имеетmaxв точкеO(0,0),
но не имеет в этой точке производных.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.
Теорема
: (Достаточное условие
экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x;
у) имеет непрерывные частные производные
до 2 ого порядка включительно.
Вычислим в точке
значения
,
и
.
Обозначим
В случае если
,
экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы
дополнительные исследования.
Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.
СодержаниеПроизводная первого порядка
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)
.
И пусть это уравнение, при некотором значении ,
имеет единственное решение .
Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке ,
причем
.
Тогда, при этом значении ,
существует производная ,
которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)
:
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и ,
то
(4)
;
.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)
.
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)
.
Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :
.
По формуле производной суммы :
.
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)
.
Подставив сюда производную ,
получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)
.
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2)
.
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по ,
считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной ,
считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), .
Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)
;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)
.
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной ,
считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что .
Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)
.
Находим производную первого порядка:
(П2.3)
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)
.
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)
;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)
.
Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)
.
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.